[論文レビュー] The Holographic Fluid on the Sphere Dual to the Schwarzschild Black Hole

Ryuichi Nakayama|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、近視界近似をとらずに、d+2次元における変形されたシュバルツシルトブラックホール計量を、半径 $ r_c $ における d-次元球面 $ \Sigma_c $ 上の固定された誘導計量をもって構築する。流体速度 $ v^i $ が球面上の小さな定ノルムのキリングベクトル場であると仮定することで、変形計量は真空アインシュタイン方程式を満たし、圧縮性のない理想流体に対応するブラウン＝ヨークのストレステンソルをもたらす。その流体力学的ダイナミクスはオイラー方程式に従う。

ABSTRACT

We consider deformation of the d+2 dimensional asymptotically flat Schwarzschild black hole spacetime with the induced metric on a d-sphere at $r=r_c$ held fixed. This is done without taking the near horizon limit. The deformation is determined so that the $Λ=0$ vacuum Einstein equation is satisfied and the metric is regular on the horizon. In this paper the velocity of a dual fluid $v^i$ is assumed to be a Killing field and small, and the deformed metric is obtained up to $O(v^2)$. At this order of hydrodynamic expansion the dual fluid is an ideal one. The structure of the metric is fairly different from the near horizon result of Bredberg and Strominger in arXiv:1106.3084.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な時空におけるシュバルツシルトブラックホールに対して、近視界近似を仮定せず、流体/重力双対性を確立すること。
• ホライズンで正則性を保ちつつ、$ r = r_c $ における $ d $-次元球面 $ \Sigma_c $ 上の誘導計量を固定する変形計量を特定すること。
• 流体の流体力学的極限を、$ v^i $ を小さなキリングベクトル場と仮定し、$ P $ を $ O(\epsilon^2) $ とすることで、流体力学的展開の $ O(\epsilon^2) $ までに制限すること。
• $ \Sigma_c $ 上のブラウン＝ヨークのストレステンソルが、圧縮性のない理想流体に対応することを特定し、その流体力学的方程式がオイラー方程式と一致することを検証すること。

提案手法

• d+2次元におけるシュバルツシルト計量の流入型エディントン＝フィンケルシュタイン形式を出発とし、$ v^i $ と $ P $ の摂動を導入することで計量を変形しつつ、$ \Sigma_c $ 上の誘導計量を固定する。
• 真空アインシュタイン方程式（$ R_{\mu\nu} = 0 $）とホライズンでの正則性を課すことにより、計量摂動の係数関数を決定する。
• $ v^i $ が $ S^d $ 上のキリングベクトル場であり、$ v^2 $ が定数かつ $ O(\epsilon^2) $ であり、$ P = O(\epsilon^2) $ であると仮定することで、流体力学的展開を2次まで簡略化する。
• アインシュタイン方程式を順次に解き、$ A_2(r), A_3(r), A_5(r), A_6(r), a_1(r), a_2(r), a_3(r) $ を含む計量成分の式を導出する。境界条件は $ r = r_c $ で設定する。
• 変形計量から得られるクリストッフェル記号を用いて、$ \Sigma_c $ 上の外在的曲率とブラウン＝ヨークのストレステンソルを計算し、流体のストレステンソル形式を特定する。
• 得られたストレステンソルが、定圧の圧縮性のない完全流体に対応しており、$ v^i $ がキリング性質を持つため、流体力学的方程式がオイラー方程式に簡略化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近視界近似をとらずに、シュバルツシルトブラックホールに双対するホログラフィック流体を構築できるか？
• RQ2 ブレッドバーグとストロマインジャー（arXiv:1106.3084）の近視界結果とは、変形計量の構造がどのように異なるか？
• RQ3 カットオフ球面 $ \Sigma_c $ 上でのブラウン＝ヨークのストレステンソルの形は何か？また、既知の流体モデルに対応するか？
• RQ4 計量に現れる定数 $ a_2 $ が未定義であるのはなぜか？これは変形の非一意性を示唆するのか？
• RQ5 ストレステンソルから導かれる流体ダイナミクスは、オイラー型と特定できるか？どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 変形計量は、近視界近似をとらずに、真空アインシュタイン方程式を満たし、ホライズンでも正則のままである。
• ブラウン＝ヨークのストレステンソルは、$ v^i $ と $ P $ が $ O(\epsilon^2) $ であるため、定圧の圧縮性のない理想流体の形をとる。
• 流体が圧縮性でないのは、$ v^i $ が $ S^d $ 上のキリングベクトル場であることから、$ \nabla^{(h)}_i v^i = 0 $ が成り立つためである。
• ストレステンソル保存から導かれる流体力学的方程式はオイラー方程式であり、$ O(\epsilon^2) $ で理想流体の振る舞いが確認される。
• 計量に未定義の定数 $ a_2 $ が含まれており、これは変形の非一意性を示唆する。現在の条件ではこの定数は固定されない。
• 得られた計量構造は、平坦な $ \Sigma_c $ の場合と顕著に異なり、最終形では $ v_i \, dr \, dx^i $ や $ \chi_i \, dx^i \, dr $ 項が存在しない。