[論文レビュー] The homology of simplicial complement and the cohomology of the moment-angle complexes

Xiangjun Wang, Qibing Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では単体的補集合のホモロジー理論を導入し、ターラー分解を用いてスタニーリー・ライスナー面環のTor代数と同型であることを確立する。一般化されたモーメント・アングル複体のコホモロジーの計算的枠組みを提供し、特にコホモロジーリング構造が単体的補集合のホモロジーによって決定されることを示す。具体的な例について、明示的なポincare級数とベッチ数が計算されている。

ABSTRACT

A simplicial complement P is a sequence of subsets of [m] and the simplicial complement P corresponds to a unique simplicial complex K with vertices in [m]. In this paper, we defined the homology of a simplicial complement $H_{i,σ}(Λ^{*,*}[P], d)$ over a principle ideal domain k and proved that $H_{*,*}(Λ[P], d)$ is isomorphic to the Tor of the corresponding face ring k(K) by the Taylor resolutions. As applications, we give methods to compute the ring structure of Tor_{*,*}^{k[x]}(k(K), k)$, $link_{K}σ$, $star_{K}σ$ and the cohomology of the generalized moment-angle complexes.

研究の動機と目的

• 主理想整域上での単体的補集合のホモロジーを定義し、その性質を研究すること。
• 単体的補集合のホモロジーと対応するスタニーリー・ライスナー面環のTor代数との同型を確立すること。
• 包含写像が定数にホモトープである場合の一般化されたモーメント・アングル複体のコホモロジーに対する計算手法を提供すること。
• 単体的補集合のホモロジーを用いて、Tor_{*,*}^{k[x]}(k(K_P),k) の環構造を特定すること。
• 一般化されたモーメント・アングル複体 Z_K(𝐗,𝐀) のコホモロジーモジュールおよび単体のリンクやスターサブコンプレックスなどの関連トポロジカル不変量の構造を明らかにすること。

提案手法

• 主理想整域 k 上の二重次数複体 (Λ[𝐏], d) を定義する。ここで Λ[𝐏] は単体的補集合 𝐏 = {σ₁,…,σₛ} ⊆ [m] 上の外向き代数である。
• 生成子の境界作用素 ∂ᵢ と単項式商 x_{S_u} / x_{S_{∂ᵢ(u)}} を用いて、Λ[𝐏] ⊗ₖ k[x] 上に微分 d を導入する。
• ターラー分解 (Λ[𝐏] ⊗ₖ k[x], d) を用いて、k[x]/I_P の自由分解とする。ここで I_P はスタニーリー・ライスナーイデアルである。
• k とのテンソル積を取った後、複体のホモロジー H_{*,τ}(Λ^{*,τ}[𝐏], d) を計算し、Tor群を得る。
• 同型 H^*(Z_K(𝐗,𝐀), k) ≅ ⨁_{ω∈K_P} ⨁_{τ} H_{*,τ}(Λ^{*,τ}[E_ω𝐏], d) を適用し、一般化されたモーメント・アングル複体のコホモロジーを計算する。
• スペクトル系列と球面のホモトピー型を用いて、コホモロジーを単体的複体のリンクおよびスターサブコンプレックスに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含写像 A_i → X_i が定数にホモトープであるとき、一般化されたモーメント・アングル複体のコホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ2 単体的補集合のホモロジーと対応するスタニーリー・ライスナー面環のTor代数との関係は何か？
• RQ3 Tor_{*,*}^{k[x]}(k(K_P),k) の環構造は、単体的補集合のホモロジーからどのように生じるか？
• RQ4 一般化されたモーメント・アングル複体 Z_K(𝐗,𝐀) のコホモロジーモジュール構造は、単体的補集合ホモロジーを用いてどのように記述できるか？
• RQ5 この枠組みを用いて、モーメント・アングル複体のベッチ数とポincare級数を明示的にどのように計算できるか？

主な発見

• ホモロジー H_{*,τ}(Λ^{*,τ}[𝐏], d) は Tor_{*,*}^{k[x]}(k(K_P), k) に同型であり、Tor代数の新たな計算的ツールを提供する。
• 単体的補集合 𝐏 = {{1,2},{3,4},{5,6}} の場合、コホモロジーリング H^*(Z_K(D²,S¹), k) は3つの生成子による外部代数であり、ポincare級数は 1 + 3x³ + 3x⁶ + x⁹、全ベッチ数は 8 である。
• 一般化されたモーメント・アングル複体 Z_K(S²,S¹) のコホモロジーは、k 上の自由モジュールであり、ポincare級数は 1 + 6x² + 9x³ + 12x⁴ + 36x⁵ + 35x⁶ + 36x⁷ + 54x⁸ + 27x⁹ である。
• Z_K(S²,S¹) の全ベッチ数は 216 に計算され、非自明な場合に対しても本手法の有効性が示された。
• Z_K(𝐗,𝐀) のコホモロジーは、K_P に属する単体 ω に関する直和に分解され、各項は単体的補集合 E_ω𝐏 のホモロジーに同型である。
• 本手法は、関連する単体的補集合のホモロジーを用いて、リンクおよびスターサブコンプレックスのコホモロジーを効果的に計算できた。