[論文レビュー] The homotopy fixed points of the circle action on Hochschild homology

Marc Hoyois|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、微分付きカテゴリの負の循環ホモロジーおよび周期的循環ホモロジーが、そのホッフ・コンプレックス上の標準的円作用のホモトピー固定点およびテート固定点にそれぞれ同型であることを確立する。コンネスの$B$-作用素をこの円作用のモデルとして特定することで、古典的循環ホモロジー理論と等置ホモトピー論を統合し、負の循環の場合に長年の文献的ギャップを解消する。

ABSTRACT

We show that Connes' B-operator on a cyclic differential graded k-module M is a model for the canonical circle action on the geometric realization of M. This implies that the negative cyclic homology and the periodic cyclic homology of a differential graded category can be identified with the homotopy fixed points and the Tate fixed points of the circle action on its Hochschild complex.

研究の動機と目的

• ホッフ・ホモロジー上の円作用を通じて、古典的循環ホモロジー理論と等置ホモトピー論の関係を明確化すること。
• 微分付きカテゴリの負の循環ホモロジーが、そのホッフ・コンプレックス上の円作用のホモトピー固定点に一致することを証明し、文献におけるギャップを埋めること。
• 微分付きカテゴリの周期的循環ホモロジーが、同一の作用のテート固定点に同型であることを示し、循環ホモロジーの等置的解釈を完成させること。
• $Υ$-カテゴリが対称モノイダル$Υ$-カテゴリに倣って enrich された設定において、古典的定義の循環的、負の、周期的ホモロジーを拡張し、古典的構成と整合性を保つこと。

提案手法

• $Υ$-カテゴリが対称モノイダル$Υ$-カテゴリに倣って enrich された$∞$-カテゴリの枠組みを用い、カテゴリ$\mathcal{C}$から循環的対象$\mathcal{C}^{\natural}$を構成し、その幾何的実現がホッフ・ホモロジー$\mathrm{HH}(\mathcal{C})$をもたらす。
• ホッフ・コンプレックス上の標準的円作用は、コンネスの循環的カテゴリ$\Lambda$の$∞$-群体的完成$B\mathbb{T} \simeq \tilde{\Lambda}$を介してモデル化され、$\mathrm{HH}(\mathcal{C})$が$\mathbb{T}$-作用を備える。
• 幾何的実現とホモトピー軌道および固定点を結ぶために、関手$u_{\mathbb{T}} = i^*$、$(-)_{h\mathbb{T}} = p_!$、および$(-)^{h\mathbb{T}} = p_*$を用いる。
• 演算子$b$、$b'$、$N$、および$∕\mathrm{id}-t$を用いた二重複体解体を構成し、この二重複体の全複体が定数$k$-加群$\underline{k}$を準同型的に代表することを証明し、重要な準同型を確立する。
• 双対複体のコホモロジーを分析することで、円作用に対応する生成子$\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$を同定し、$B$-作用素と結びつける。
• 構造定理を用い、$\Lambda$の射を$\Delta$-射と自己同型の合成として表現し、この性質を用いてホモロジー計算を巡回群コホモロジーに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンネスの$B$-作用素が、ホッフ・コンプレックスの幾何的実現上の標準的円作用とどのように関係するか？
• RQ2 微分付きカテゴリの負の循環ホモロジーは、そのホッフ・コンプレックス上の円作用のホモトピー固定点と同一視可能か？
• RQ3 微分付きカテゴリの周期的循環ホモロジーは、そのホッフ・コンプレックス上の円作用のテート固定点に同型か？
• RQ4 $∞$-カテゴリの文脈における循環的、負の、周期的ホモロジーの抽象的定義は、dgカテゴリに対して古典的定義をどの程度回復するか？

主な発見

• 循環$k$-加群上の$B$-作用素は、ホッフ・コンプレックスの幾何的実現上の標準的円作用のモデルである。
• 負の循環ホモロジー$\mathrm{HN}(A)$は、ホッフ・コンプレックス上の円作用のホモトピー固定点$\mathrm{HH}(A)^{h\mathbb{T}}$に同型である。
• 周期的循環ホモロジー$\mathrm{HP}(A)$は、同一の作用のテート固定点$\mathrm{HH}(A)^{t\mathbb{T}}$に同型である。
• 循環ホモロジー$\mathrm{HC}(A)$はホモトピー軌道$\mathrm{HH}(A)_{h\mathbb{T}}$と同一視され、既知の結果を新たな視点から確認する。
• 二重複体$K_{**}$の全複体は、定数$k$-加群$\underline{k}$に準同型的である。これは、解体が正の次数で正確であることを証明する。
• 生成子$\delta \in H^2(B\mathbb{T}, \mathbb{Z})$は$B$-作用素に対応し、円作用と古典的$B$-微分作用素を結びつける。