[論文レビュー] The Homotopy Theory of Simplicially Enriched Multicategories

Marcy Robertson|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、単体的集合に倣った小さな対称マルチカテゴリの圏に、クイレンモデル構造を cofibrantly generated として確立し、単体的圏のバーグナー構造と、色付きオペラッドのベルジャ-・モエルディーク構造を統合する。主な貢献は、単体的充填を用いた高次圏論および $(∞,1)$-オペラッドにおける代数的構造を研究するためのホモトピー論的枠組みを提供することである。

ABSTRACT

In this paper we construct a cofibrantly generated model category structure on the category of all small symmetric multicategories enriched in simplicial sets.

研究の動機と目的

• 単体的集合に倣った小さな対称マルチカテゴリの圏にクイレンモデル構造を構成すること。
• 単体的圏におけるバーグナー構造と $S$-色付きオペラッドにおけるベルジャ-・モエルディーク構造を統合すること。
• $(∞,1)$-圏および $(∞,1)$-オペラッドにおける代数的構造を研究するためのホモトピー論的枠組みを提供すること。
• オペラッドおよびマルチカテゴリの理論を、単体的ホモオブジェクトを備えた豊か化された設定へと拡張し、導来代数的構成を可能にすること。

提案手法

• 任意のマルチファンクターをコフェイブルに、その後にアサイクルファイブレーションに分解するための小さな対象の手続きを用い、モデル構造の存在を保証する。
• 生成コフェイブルとアサイクルコフェイブルを生成セルに沿った押し出しを用いて定義することで、コフェイブルに生成されたモデル構造の理論を適用する。
• 弱同値とファイブレーションを生成する $ar{I}$ および $ar{J}$ のクラスを活用し、再帰的閉包性と 2-中 3 の性質を保証する。
• 弱同値を $π_0$ ファンクターによって検出し、包含写像に沿った押し出し図と引き戻し図を用いて上げ上げ性質を確認する。
• 操作の $Σ_n$-同変性を活用し、単体的充填における対称モノイダル構造と整合性を保つ。
• コフェイブルの分類と上げ上げ性質を応用し、特にアサイクルコフェイブルの上げ上げ条件を含むクイレンモデル構造の公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、単体的集合に倣った小さな対称マルチカテゴリの圏にクイレンモデル構造を構成できるか？
• RQ2 このモデル構造は、単体的圏におけるバーグナー構造と $S$-色付きオペラッドにおけるベルジャ-・モエルディーク構造をどのように統合するか？
• RQ3 この豊か化された設定において、マルチファンクターが弱同値、ファイブレーション、またはコフェイブルであるための必要十分条件は何か？
• RQ4 単体的集合に倣ったマルチカテゴリのホモトピー論は、$(∞,1)$-オペラッドのホモトピー論とどのように関係するか？

主な発見

• 単体的集合に倣った小さな対称マルチカテゴリの圏には、コフェイブルに生成されたクイレンモデル構造が存在する。
• 弱同値は $π_0$ ファンクターによって検出され、モデル構造において押し出しを保存し、弱同値を反映する。
• すべてのアサイクルコフェイブルは弱同値であり、弱同値であるすべてのファイブレーションはアサイクルファイブレーションである。2-中 3 の性質を満たす。
• モデル構造は小さな対象の手続きと再帰的閉包性により構成され、生成コフェイブルとアサイクルコフェイブルは $ar{I}$ および $ar{J}$ 沿いの押し出しにより定義される。
• 押し戻し因子分解と単体的写像の段階的解析を用いて、アサイクルコフェイブルとファイブレーションの上げ上げ性質を検証する。
• 構成は対称モノイダル構造およびマルチカテゴリの操作の $Σ_n$-同変性と整合性を保ち、ホモトピー的整合性を保証する。