[論文レビュー] The homotopy type of a topological stack

Johannes Ebert|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、パラコンパクト群コホーの分類空間を用いて、アトラスの選択による曖昧性を解消する、明確に定義されたホモトピー型関手を構成する。トポロジカルスタックの1カテゴリからトポロジカル空間のホモトピー圏への関手が、同調と2同型に関して整合的であり、ホモトピー型がホモトピーと2同型に関してwell-definedであることを示している。

ABSTRACT

The notion of the \emph{homotopy type} of a topological stack has been around in the literature for some time. The basic idea is that an atlas $X o \mathfrak{X}$ of a stack determines a topological groupoid $\mathbb{X}$ with object space $X$. The homotopy type of $\mathfrak{X}$ should be the classifying space $B \mathbb{X}$. The choice of an atlas is not part of the data of a stack and hence it is not immediately clear why this construction of a homotopy type is well-defined, let alone functorial. The purpose of this note is to give an elementary construction of such a homotopy-type functor.

研究の動機と目的

• アトラスの選択に依存するため、トポロジカルスタックのホモトピー型を定義する際の曖昧性を解消すること。
• ホモトピーと2同型に関してwell-definedである、トポロジカルスタックの1カテゴリからトポロジカル空間のホモトピー圏への関手を構築すること。
• 構成が関手的であり、写像の同調と2同型に関して整合的であることを保証すること。
• トポロジカル群（BGを介して）の古典的ホモトピー型構成を一般のトポロジカルスタックへ拡張すること。
• ホモトピー型からスタックへの普遍的な弱同値が構成可能かどうかを示し、その意味を明確にすること。

提案手法

• トポロジカルスタックを、特にパラコンパクトな群コホーによる提示を用いて、そのホモトピー型を群コホー𝒢の分類空間B𝒢として定義する。
• 厚い単体的トポロジカル空間の実現を用いて分類空間を構成し、パラコンパクト性と良好な位相的性質を保証する。
• アトラスの非標準的選択に対処するため、ホモトピーに関してwell-definedな関手の概念（「ホモトピー的選択の上での関手」）を導入する。
• 2同型に関しての擬自然変換を用いて、ホモトピー型構成の自然性を形式化する。
• パラコンパクトハウスドルフ空間が正規であり、部分分割を有するため、局所有限な細分が構成可能であるという事実に依存する。
• 厚い実現における二重写像シリンダー構成を用いて、帰納的に実現空間を構築し、パラコンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルスタックのホモトピー型は、アトラスの選択に依存せずに定義可能か？
• RQ2 スタックがホモトピー型に関してwell-definedかつ関手的であるための条件は何か？
• RQ3 ホモトピー型からスタックへの普遍的な弱同値を構成可能か？ もし可能なら、どのような意味で可能か？
• RQ4 ホモトピー型関手は、スタック間の写像の同調と2同型とどのように作用するか？
• RQ5 実現された分類空間が良好に振る舞うために必要な位相的性質（例：パラコンパクト性）は何か？

主な発見

• パラコンパクト群コホーによる提示を許容する小さな2カテゴリ𝒮のトポロジカルスタックに対して、Ho: τ≤1𝒮 → Top なるホモトピー型関手が存在する。
• スタックのホモトピー型はホモトピーと2同型に関してwell-definedであり、提示群コホー𝒢の分類空間B𝒢によって表される。
• 関手Hoは同調に関して整合的である：2つの写像が同調しているならば、Hoによる像もホモトピックである。
• この構成は、標準的なホモトピー圏関手Top → Ho(Top)およびトポロジカル群G ↦ BGを両方とも拡張する。
• 普遍的な弱同値η: Ho(𝒳) → 𝒳 が存在するが、これは厳密な自然変換ではなく、ホモトピー的選択および2同型に関してのみ成り立つ。
• パラコンパクトハウスドルフ成分を有する単体的トポロジカル空間の厚い実現はパラコンパクトであり、分類空間の良好な位相的性質を保証する。