[論文レビュー] The Hubbard Model: Introduction and Selected Rigorous Results

Hal Tasaki|ArXiv.org|Dec 26, 1995

Advanced Topics in Algebra被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハーバード模型の基底状態の磁気的性質に焦点を当てた、きめの細かい数学的レビューを提供する。Liebの定理（半分満たされた二部グラフ格子におけるもの）やNagaokaによる飽和フェロ磁性の証明といった重要な定理を提示し、強い電子相関系における反強磁性、強磁性、金属-絶縁体転移の出現を明確にする正確な結果を提示する。

ABSTRACT

The Hubbard model is a "highly oversimplified model" for electrons in a solid which interact with each other through extremely short ranged repulsive (Coulomb) interaction. The Hamiltonian of the Hubbard model consists of two pieces; H_hop which describes quantum mechanical hopping of electrons, and Hint which describes nonlinear repulsive interaction. Either H_hop or H_int alone is easy to analyze, and does not favor any specific order. But their sum H=H_hop+H_int is believed to exhibit various nontrivial phenomena including metal-insulator transition, antiferromagnetism, ferrimagnetism, ferromagnetism, Tomonaga-Luttinger liquid, and superconductivity. It is believed that we can find various interesting "universality classes" of strongly interacting electron systems by studying the idealized Hubbard model. In the present article we review some mathematically rigorous results on the Hubbard model which shed light on "physics" of this fascinating model. We mainly concentrate on magnetic properties of the model at its ground states. We discuss Lieb-Mattis theorem on the absence of ferromagnetism in one dimension, Koma-Tasaki bounds on decay of correlations at finite temperatures in two-dimensions, Yamanaka-Oshikawa-Affleck theorem on low-lying excitations in one-dimension, Lieb's important theorem for half-filled model on a bipartite lattice, Kubo-Kishi bounds on the charge and superconducting susceptibilities of half-filled models at finite temperatures, and three rigorous examples of saturated ferromagnetism due to Nagaoka, Mielke, and Tasaki. We have tried to make the article accessible to nonexperts by describing basic definitions and elementary materials in detail.

研究の動機と目的

• 強相関電子系の分野に詳しくない読者向けに、ハーバード模型におけるきめの細かい結果を包括的かつ理解しやすい形でレビューすること。
• モデルの基底状態において、反強磁性、強磁性などのさまざまな磁気秩序がどのように出現するかの条件を明確にすること。
• 特定の相（例えば、1次元系における強磁性）の存在または非存在を確立する正確な定理を強調すること。
• きめの細かい数学的結果と、超伝導やランゲル・リューティング液体の挙動といった広範な物理現象との関連を示すこと。
• 有限温度における相関関数や感受率の上限を提示し、相の安定性と普遍性に関する洞察を提供すること。

提案手法

• Lieb-Mattisの定理を用いて、反発的相互作用を有する1次元ハーバード模型において強磁性が生じえないことを証明する。
• Koma-Tasakiの境界を用いて、2次元系における有限温度でのスピンおよび電荷相関関数の減衰をきめの細かく分析する。
• Yamanaka-Oshikawa-Affleckの定理を用いて、1次元鎖における励起状態の低エネルギー領域を特徴付ける。
• Liebの定理を活用し、二部グラフ格子上の半分満たされたハーバード模型の基底状態スピン量子数を確立する。
• Kubo-Kishiの境界を用いて、有限温度における半分満たされたモデルの電荷および超伝導感受率を制限する。
• Nagaoka、Mielke、Tasakiの構成を用いて、特定の格子幾何学的構造のもとで飽和強磁性が出現する3つの正確な例を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーバード模型がどのような条件下で強磁性基底状態を示すのか。
• RQ2 なぜきめの細かな定理によれば、1次元系では強磁性が禁じられているのか。
• RQ3 2次元ハーバード模型において、有限温度でのスピンおよび電荷相関関数はどのように減衰するのか。
• RQ4 1次元ハーバード鎖における励起状態の性質は何か。
• RQ5 ハーバード模型において、飽和強磁性が正確に証明される条件は何か。

主な発見

• Liebの定理により、二部グラフ格子上の半分満たされたハーバード模型の基底状態の全スピン量子数は S = |N↑ - N↓|/2 であることが示され、半分満たされた状況では反強磁性秩序が生じることを示唆する。
• Lieb-Mattisの定理により、反発的相互作用を有する1次元ハーバード模型では、強磁性が生じえないことがきめの細かく証明されている。
• Koma-Tasakiの境界は、2次元系における有限温度でのスピンおよび電荷相関関数の減衰の上界をきめの細かく提供する。
• Yamanaka-Oshikawa-Affleckの定理により、1次元鎖における低エネルギー励起スペクトルが特徴づけられ、ランゲル・リューティング液体の挙動が確認されている。
• Nagaokaの定理により、局所的反発力が無限大に近づき、半分満たされたバンドに1つの空孔がある極限において、任意の非二部グラフ格子上では基底状態が完全に偏極（強磁性）であることが証明されている。
• TasakiおよびMielkeは、独立に、特定の格子幾何学的構造とバンド構造のおかげで飽和強磁性が出現するモデルを構成し、ハーバード模型における強磁性の正確な例を提供した。