[論文レビュー] The index of projective families of elliptic operators: the decomposable case

Varghese Mathai, Richard Melrose+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、Dixmier-Douady類が α ∪ β に分解可能で、α ∈ H¹(X;ℤ)、β ∈ H²(X;ℤ) かつ φ*β = 0 となる全空間上で、射影的ファミリーの楕円型作用素に対して解析的インデックスと位相的インデックスの等価性を確立する。主な貢献は、ねじれK理論のインデックス類が滑らかなアズマヤ bundle の修正を許容することであり、これによりねじれチャーン類のチャーン＝ヴェイ推論が可能になり、この設定におけるインデックス定理の証明が可能となる。

ABSTRACT

An index theory for projective families of elliptic pseudodifferential operators is developed when the twisting, i.e. Dixmier-Douady, class is decomposable. One of the features of this special case is that the corresponding Azumaya bundle can be realized in terms of smoothing operators. The topological and the analytic index of a projective family of elliptic operators both take values in the twisted K-theory of the parameterizing space. The main result is the equality of these two notions of index. The twisted Chern character of the index class is then computed by a variant of Chern-Weil theory.

研究の動機と目的

• H³(X;ℤ) 内の分解可能 twisting class δ = α ∪ β を用いたねじれK理論へのファミリーインデックス定理の拡張を図ること。
• β がファイブレーションの全空間上で自明化されるとき、関連するアズマヤバンドルが滑らかな修正を許容することを示すこと。
• これらの条件下でねじれK理論における解析的インデックスと位相的インデックスの等価性を証明すること。
• チャーン＝ヴェイ理論の変種を用いて、インデックス類のねじれチャーン類を計算すること。

提案手法

• α ∈ H¹(X;ℤ) を表す滑らかな関数 u ∈ C∞(X; U(1)) を用いて、クラス δ を持つ主 PU bundle を構成する。
• c₁(L) = β ∈ H²(X;ℤ) を満たすヘルミート線束 L を構成し、φ*β = 0 の条件を用いて、全空間 Y 上で β を自明化する。
• φ: Y → X が、β の引き戻しを消すように仮定することで、X 上に滑らかなアズマヤバンドル A を構成する。
• 解析的インデックスは、Y 上の楕円型作用素のファミリーにより定義され、ねじれK理論 K⁰(X; α, β) に値をとる。
• 位相的インデックスは、ねじれコホロロジーにおけるチャーン類により定義され、チャーン＝ヴェイ型の構成により計算される。
• 主な結果は、解析的インデックスと位相的インデックスが K⁰(X; α, β) 内で一致することを示すことによって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dixmier-Douady類が α ∪ β に分解可能で、α ∈ H¹(X;ℤ)、β ∈ H²(X;ℤ) であるとき、射影的ファミリーの楕円型作用素に対するインデックス定理は成立するか？
• RQ2 このような分解可能クラスに対応するアズマヤバンドルは、滑らかな平滑化作用素バンドルに修正可能か？
• RQ3 β が全空間 Y に引き戻されたときに消える条件は何か？ そしてそれはインデックス理論にどのように影響するか？
• RQ4 微分幾何的技法を用いて、この設定におけるインデックス類のねじれチャーン類をどのように計算できるか？
• RQ5 twisting class が分解可能で、β が Y 上で自明化されるとき、ねじれK理論における解析的インデックスと位相的インデックスは等しいか？

主な発見

• Dixmier-Douady類が α ∪ β に分解可能で、φ*β = 0 が Y 上で成り立つとき、射影的ファミリーの楕円型作用素の解析的インデックスと位相的インデックスはねじれK理論で等価である。
• twisting class δ = α ∪ β に対応するアズマヤバンドルは滑らかな修正を許容し、インデックス問題に対する微分幾何的アプローチを可能にする。
• インデックス類のねじれチャーン類は、c₁(L) = β を満たす線束 L の接続の曲率形式を用いたチャーン＝ヴェイ理論の変種により計算される。
• 種数 g > 1 のリーマン面の普遍ファミリーにおいて、ホッジバンドル Λ は c₁(Λ) = (13/12)e₁ を満たす。ここで e₁ は最初のムンフォード＝モリータ＝ミラー類である。
• 行列式線束 det(Λ)⊗¹² は c₁(det(Λ)⊗¹²) = 13e₁ を満たし、これは 𝒪ℳ_g 上の線束 L で c₁(L) = 13e₁ を満たすものとして得られる。
• 𝕋 × 𝒪ℳ_g 上に、解析的インデックスが K⁰(𝕋 × 𝒪ℳ_g; a ∪ e₁) に値をとる、自然な射影的ファミリーのディラック作用素が構成される。ここで a は H¹(𝕋;ℤ) を生成する。