[論文レビュー] The infinity Quillen functor, Maurer-Cartan elements and DGL realizations

Urtzi Buijs, Yves Félix+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、テンソル代数上の新規リー括弧公式を用いて、余単体的完全微分gradedリー代数（cDGL）${\mathfrak{L}}_{\bullet}$の新規構成を提示する。これにより、任意のcDGL $L$の幾何的実現 $\<L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ が可能となり、その主要結果は $\langle L\rangle$ が、ゲツラー＝ヒニッチ実現の変形リトラクトである神経的複体 $\gamma_{\bullet}(L)$ と同型であることを示している。これにより強いホモトピー同値性が確立され、有理ホモトピー論におけるさまざまな実現が統一される。

ABSTRACT

We show an alternative construction of the cosimplicial free complete diferential graded Lie algebra $\mathfrak{L}_\bullet=\widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}Δ^\bullet)$ based on a new Lie bracket formulae for Lie polynomials on a general tensor algebra. Based on it,we prove that for any complete differential graded Lie algebra $L$, its geometrical realization $\langle L angle= ext{Hom}_{ ext{cdgl}}(\mathfrak{L}_\bullet,L)$ is isomorphic to its nerve $γ_\bullet(L)$, a deformation retract of the Getzler-Hinich realization $ ext{MC}(\mathscr{A}_\bullet\widehat{\otimes} L)$.

研究の動機と目的

• 一般のテンソル代数上でのリー多項式のための新規リー括弧公式を導入し、古典的Quillen関手 $\mathcal{L}$ を $C_\infty$-余代数へ拡張すること。
• 微分が標準 $n$-単体の単体的チェイン複体によって誘導される、余単体的cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$ を $\widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}\Delta^{\bullet})$ として構成すること。
• ホモトピー・リトラクト理論を用いて、余代数的微分複体 $C$ 及びその有限型部分複体 $V$ の関係を調べ、$\operatorname{Hom}(V, L)$ に $L_\infty$-構造を誘導すること。
• 定理0.3を用いて、$\operatorname{Hom}(V, L)$ のMaurer-Cartan要素と $\mathcal{L}(V)$ から $L$ へのcDGL準同型の間の双対性を確立すること。
• CDGAに対して双対化を施し、$V \otimes L$ に $\operatorname{Hom}(V^\sharp, L)$ と同型な $L_\infty$-構造を定義し、定理0.4を導出すること。
• $L_\infty$-準同型 $I_n$ の再帰的テイラー級数展開を用いて、単体的Maurer-Cartan集合間の写像 $\operatorname{MC}(I_n)$ が $\operatorname{MC}(I_n)(\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi) = \omega_{0\dots n} \otimes \Phi$ を満たすことを示すこと。

提案手法

• 一般のテンソル代数上でのリー多項式のための新規リー括弧公式を導入し、古典的Quillen関手 $\mathcal{L}$ を $C_\infty$-余代数へ拡張する。
• 微分が標準 $n$-単体の単体的チェイン複体によって誘導される、余単体的cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$ を $\widehat{\mathbb{L}}(s^{-1}\Delta^{\bullet})$ として構成する。
• ホモトピー・リトラクト理論を用いて、余代数的微分複体 $C$ 及びその有限型部分複体 $V$ の関係を調べ、$\operatorname{Hom}(V, L)$ に $L_\infty$-構造を誘導する。
• 定理0.3を用いて、$\operatorname{Hom}(V, L)$ のMaurer-Cartan要素と $\mathcal{L}(V)$ から $L$ へのcDGL準同型の間の双対性を確立する。
• CDGAに対して双対化を施し、$V \otimes L$ に $\operatorname{Hom}(V^\sharp, L)$ と同型な $L_\infty$-構造を定義し、定理0.4を導出する。
• 再帰的テイラー級数展開を用いて、$L_\infty$-準同型 $I_n$ による単体的Maurer-Cartan集合間の写像 $\operatorname{MC}(I_n)$ が $\operatorname{MC}(I_n)(\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi) = \omega_{0\dots n} \otimes \Phi$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余単体的cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$ は、帰納的またはホモトピー移行法に依存しない、テンソル代数上での新規リー括弧公式を用いて構成可能か？
• RQ2 幾何的実現 $\langle L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ は、ゲツラー＝ヒニッチ実現 $\operatorname{MC}({\mathscr{A}}_{\bullet} \widehat{\otimes} L)$ とホモトピー同値か？
• RQ3 有限性仮定なしに、単体的集合 $\langle L\rangle$ は、$\operatorname{MC}({\mathscr{A}}_{\bullet} \widehat{\otimes} L)$ の部分単体的集合である神経的複体 $\gamma_{\bullet}(L)$ と一致するか？
• RQ4 明示的な $L_\infty$-準同型および誘導写像のテイラー級数展開を用いて、$\langle L\rangle$ と $\gamma_{\bullet}(L)$ 間のホモトピー同値性を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、テンソル代数上での新規リー括弧公式を用いて、余単体的cDGL ${\mathfrak{L}}_{\bullet}$ を帰納的でない代数的構成により構成し、従来の方法とは異なる代替的枠組みを提供する。
• 幾何的実現 $\langle L\rangle = \operatorname{Hom}_{\text{cDGL}}({\mathfrak{L}}_{\bullet}, L)$ は、単体的集合として神経的複体 $\gamma_{\bullet}(L)$ と同型であることが、定理3.8で示されている。
• 同型 $\langle L\rangle \cong \gamma_{\bullet}(L)$ は、ホモトピー同値 $\langle L\rangle \simeq \operatorname{MC}(C^*(\Delta^\bullet) \otimes L)$ と既知のホモトピー同値 $\gamma_{\bullet}(L) \simeq \operatorname{MC}(C^*(\Delta^\bullet) \otimes L)$ の合成により確立される。
• $n \geq 1$ に対して、ホモトピー群 $\pi_n \langle L^{(z)} \rangle$ は $H_{n-1}(L^{(z)})$ と同型であり、1次元ではBaker-Campbell-Hausdorff公式により与えられる。
• Maurer-Cartan集合間の誘導写像 $\operatorname{MC}(I_n)$ は $\operatorname{MC}(I_n)(\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi) = \omega_{0\dots n} \otimes \Phi$ を満たし、$\omega_{0\dots n}$ の冪零性により高次項が消える。
• $L_\infty$-準同型 $I_n$ は再帰的テイラー級数展開を持ち、$I_n^{(1)} = i_n$ であり、$\alpha_{0\dots n} \otimes \Phi$ に適用すると $k \geq 2$ で $I_n^{(k)} = 0$ となる。これは $\omega_{0\dots n}$ のべきが消えることによる。