[論文レビュー] The integral Chow ring of the stack of hyperelliptic curves of even genus

Dan Edidin, Damiano Fulghesu|ArXiv.org|Dec 28, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、等化的交線理論を用いて、偶数の genus $g$ の滑らかな超楕円曲線のスタックの積分チャウ環を計算する。$A^*({/mathcal{H}}_g) \cong \mathbb{Z}[c_1, c_2]/(2(2g+1)c_1, g(g-1)c_1^2 - 4g(g+1)c_2)$ を示し、これらの環に驚くほど単純な構造があることを明らかにし、自然なランク2ベクトルバンドルのチャウクラスを生成子として特定する。

ABSTRACT

Let $g$ be an even positive integer. In this paper we compute the integral Chow ring of the stack of smooth hyperelliptic curves of genus $g$.

研究の動機と目的

• スタック $\mathcal{H}_g$ の滑らかな超楕円曲線の偶数の genus $g$ の積分チャウ環を計算すること。
• 既存の $\mathcal{M}_2$ および $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ の結果を、すべての偶数 $g$ に対して完全な積分チャウ環へと拡張すること。
• $\mathcal{H}_g$ 上に自然なベクトルバンドルが存在し、そのチャウクラスがチャウ環を生成することを同定すること。
• $A^*(\mathcal{H}_g)$ の完全な提示を、チャウクラス間の明示的な関係式を用いて与えること。

提案手法

• $\mathcal{H}_g$ を $[({\mathbb{A}}^{2g+3} \setminus \Delta_1)/\mathrm{GL}_2]$ としての商スタックとして特定すること、ここで $\Delta_1$ は判別式の特異点集合である。
• 等化的交線理論を適用し、$A^*(\mathcal{H}_g)$ を $\mathbb{A}^{2g+3} \setminus \Delta_1$ の $\mathrm{GL}_2$-等化的チャウ環として実現すること。
• 等化的チャウ理論における制限定理を用いて、計算を $\mathrm{GL}_2$ の最大トーラス $T \subset \mathrm{GL}_2$ に還元すること。
• 重要な技術的補題を用いて、$A^*_T(\mathbb{P}(\operatorname{Sym}^N E^*) \setminus \Delta_1)$ が $A^*_T(\mathbb{P}(\operatorname{Sym}^N E^*))$ の、2つのクラスによって生成されるイデアルによる商であることを示すこと。
• $\mathrm{GL}_2$ が特別な群であることを利用し、トーラス等化的チャウ環から $\mathrm{GL}_2$-等化的チャウ環を回復すること。
• $\mathcal{H}_g$ 上に自然なランク2ベクトルバンドル $\mathcal{V}_g$ が存在し、そのチャウクラスがチャウ環を生成することを、ブレーバ–セヴァリ族における幾何的実現によって特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数の genus $g$ に対して、積分チャウ環 $A^*(\mathcal{H}_g)$ の構造は何か？
• RQ2 $\mathcal{H}_g$ のチャウ環は、自然なベクトルバンドルのチャウクラスによって生成可能か？
• RQ3 根が互いに異なる多項式の空間の等化的チャウ環と $A^*(\mathcal{H}_g)$ との関係は何か？
• RQ4 $A^*(\mathcal{H}_g)$ の生成子間の定義関係は何か？
• RQ5 超楕円曲線のマッピングクラス群のコホモロジーに比べて、なぜ $\mathcal{H}_g$ のチャウ環はあまりに単純なのか？

主な発見

• 偶数の $g$ に対して、$\mathcal{H}_g$ の積分チャウ環は $\mathbb{Z}[c_1, c_2]/(2(2g+1)c_1, g(g-1)c_1^2 - 4g(g+1)c_2)$ に同型である。
• $c_1$ および $c_2$ は、$\mathcal{H}_g$ 上の自然なランク2ベクトルバンドル $\mathcal{V}_g$ のチャウクラスであり、一般にはタウトロジカルではない。
• $g=2$ のとき、この結果は $A^*(\mathcal{M}_2)$ のヴィスティオリの提示を回復する。なぜならすべての genus 2 の曲線が超楕円的であるからである。
• この結果は、アーシェとヴィスティオリの計算を回復する。すなわち $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ は位数 $2(2g+1)$ の巡回群である。
• $\mathcal{V}_g$ のチャウクラスはタウトロジカルではない。特に $\lambda = (g/2)c_1$ であるため、$g \equiv 0 \pmod{4}$ のとき、ホッジ類 $\lambda$ は $\operatorname{Pic}(\mathcal{H}_g)$ の生成子でない。
• 計算により、$\mathcal{H}_g$ の積分チャウ環は、超楕円曲線のマッピングクラス群のコホモロジーの位相的複雑性とは対照的に、驚くほど単純な提示を持つことが示された。