[論文レビュー] Motivic Donaldson-Thomas invariants and McKay correspondence

Sergey Mozgovoy|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用数 40

ひとこと要約

本稿は、クーヴァーとポテンシャルの技法を用いて、$\operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ として表される $\mathbb{C}^3/G$ のクレパント解体におけるモチーフ的パンダリパダン-トマソン（PT）およびドナルドソン=トーマス（DT）不変量を計算する。不変量と有限体上での絶対的単純でないクーヴァー表現の個数を数えるカックの多項式との間の明確な公式を確立し、モチーフ的DT不変量が非負整数係数の多項式であることを証明することで、クーヴァーとポテンシャルに対するより広範な正値性予想を支持する。

ABSTRACT

Let $G\subset SL_2(C)\subset SL_3(C)$ be a finite group. We compute motivic Pandharipande-Thomas and Donaldson-Thomas invariants of the crepant resolution $Hilb^G(C^3)$ of $C^3/G$ generalizing results of Gholampour and Jiang who computed numerical DT/PT invariants using localization techniques. Our formulas rely on the computation of motivic Donaldson-Thomas invariants for a special class of quivers with potentials. We show that these motivic Donaldson-Thomas invariants are closely related to the polynomials counting absolutely indecomposable quiver representations over finite fields introduced by Kac. We formulate a conjecture on the positivity of Donaldson-Thomas invariants for a broad class of quivers with potentials. This conjecture, if true, implies the Kac positivity conjecture for arbitrary quivers.

研究の動機と目的

• $G \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})$ であるとき、$Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ として表される $\mathbb{C}^3/G$ のクレパント解体におけるモチーフ的DTおよびPT不変量を計算すること。
• 有限体上での絶対的単純でないクーヴァー表現の個数を数えるカックの多項式 $a_\alpha(q)$ の幾何的解釈を確立すること。
• 広範なクーヴァーとポテンシャルのクラスに対するモチーフ的DT不変量の正値性に関する予想を提示し、それを支持すること。
• ゲーホルムプールとジャンソンが局所化を用いて計算した数値的不変量をモチーフ的設定に一般化すること。

提案手法

• $(G, \mathbb{C}^3)$ のメイケイククーヴァー $\widehat{Q}$ と特定のポテンシャル $W = \sum_{(a:i\to j)\in Q_1} (aa^*l_j - a^*al_i)$ を用いる。
• フレームド安定表現のモジュライ空間の仮想モチーフを用いた、モチーフ的ドナルドソン=トーマス不変量の枠組みを適用する。
• 普遍的モチーフ的DT系列の公式に依拠する：$\sum_{\alpha} [\mathfrak{M}(J_{\widehat{Q},W},\alpha)]_{\mathrm{vir}} y^\alpha = \operatorname{Exp}\left( \frac{\sum_{\alpha} a_\alpha(\mathbb{L}) y^\alpha}{1 - \mathbb{L}^{-1}} \right)$。
• 文献[34]の壁越え公式を適用し、普遍的系列を安定パラメータ依存の生成関数 $\mathcal{Z}_\zeta$ と関連付ける。
• アフィンクーヴァーの根系 $\Delta_+^{\mathrm{re}}$ および $\Delta_+^{\mathrm{im}}$ の明示的構造を用いて、$\mathcal{Z}_{PT}$ および $\mathcal{Z}_{DT}$ の閉形式表現を導出する。
• 特殊化 $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ を適用することで、ゲーホルムプール＝ジャンソンらの先行結果と一致する数値的不変量を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モチーフ的DTおよびPT不変量 $\operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ とカックの多項式 $a_\alpha(q)$ との関係は何か？
• RQ2 クーヴァーとポテンシャルに対するモチーフ的DT不変量の正値性は、一般に確立または予想可能か？
• RQ3 $Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ における生成関数 $\mathcal{Z}_{PT}$ および $\mathcal{Z}_{DT}$ の明確な構造は何か？
• RQ4 モチーフ的不変量は、特殊化 $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ において古典的数値的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 モチーフ的DT/PT対応は $Y = \operatorname{Hilb}^G(\mathbb{C}^3)$ に対して成り立ち、GW/DT/PT対応とどのように関係するか？”

主な発見

• $J_{\widehat{Q},W}$ の普遍的モチーフ的DT系列は $\operatorname{Exp}\left( \frac{\sum_{\alpha} a_\alpha(\mathbb{L}) y^\alpha}{1 - \mathbb{L}^{-1}} \right)$ で与えられ、モチーフ的不変量がカックの多項式と直接関連づけられる。
• 実根 $\alpha$ に対しては $a_\alpha(q) = 1$；虚根に対しては $a_\alpha(q) = q + l$ であり、$l$ は $G$ の非自明な既約表現の数である。
• 生成関数 $\mathcal{Z}_{PT}(Y,-s,Q)$ は $\prod_{n \geq 1} \prod_{j=1}^n \prod_{\alpha \in \dot{\Delta}_+} (1 - \mathbb{L}^{j - n/2} s^n Q^\alpha)^{-1}$ に等しい。
• 生成関数 $\mathcal{Z}_{DT}(Y,-s,Q)$ は $\mathcal{Z}_{PT}(Y,-s,Q) \cdot \prod_{n \geq 1} \prod_{j=1}^n (1 - \mathbb{L}^{j+1 - n/2} s^n)^{-1} (1 - \mathbb{L}^{j - n/2} s^n)^{-l}$ に等しい。
• $\mathbb{L}^{1/2} = 1$ に特殊化すると、古典的PTおよびDT不変量が回復される：$\overline{\mathcal{Z}}_{PT}(-q,Q) = \prod_{\beta \in \dot{\Delta}_+} M(Q^\beta, q)$ および $\overline{\mathcal{Z}}_{DT}(-q,Q) = \overline{\mathcal{Z}}_{PT}(-q,Q) \cdot M(q)^{l+1}$。
• ゴパクマール＝バーナー不変量は、GW/PT対応を経由してPT系列から得られ、$n_{0,\beta} = -1$（$\beta \in \dot{\Delta}_+$ の場合）であり、それ以外では0である。