[論文レビュー] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 5: Some trigonometric integrals

Tewodros Amdeberhan, Luis A. Medina+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グラドシュタインとリーズヒクの項目 3.761.11 および 3.822.1 を一般化する形で、$∫_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ および $∫_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$ の形をした定積分の閉形式評価と厳密な証明を提供する。再帰関係を導出し、多重ゼータ値および特殊関数を用いて結果を表現する。さらに、パラメータ微分および積分変換を用いて、$x^{-p}\cos^{2n+1}(x+b)$ を含む無限区間積分へと拡張する。

ABSTRACT

We present evalauations and provide proofs of definite integrals involving the function x^p cos^n x. These formulae are generalizations of 3.761.11 and 3.822.1, among others, in the classical table of integrals by I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik.

研究の動機と目的

• グラドシュタインとリーズヒクに記載された三角関数積分、特に項目 3.761.11 および 3.822.1 の厳密な証明と文脈を提供すること。
• $n,p \in \mathbb{N}$ に対して、$∫_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ および $∫_0^{\pi/2} x^p \sin^n x\,dx$ の評価を再帰関係を用いて一般化すること。
• パラメータ微分および積分変換を用いて、$∫_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ の形をした無限区間積分へと結果を拡張すること。
• 対数関数および三角関数を含む新しい積分評価を導出し、たとえば $∫_0^\infty \u222b_0^\infty \frac{\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy$ のような二重積分を含むこと。

提案手法

• 部分積分と三角恒等式を用いて、$c(n,p) = \u222b_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ の再帰関係を導出する。
• 初期条件 $c(n,0)$, $c(n,1)$, $c(0,p)$, $c(1,p)$ をウォリスの公式、ベータ関数、ガンマ関数の恒等式を用いて表現する。
• WZ 技術を用いて、二項係数および逆数の累乗に関する和を含む閉形式表現に必要な組合せ的恒等式を検証する。
• パラメータ微分を適用して、$\log x$ や $\log y$ を含む新たな積分（特に二重積分）を生成する。
• 変数変換 $x = t^2$ を用いて、有限区間積分をフェルマー型関数および一般化された三角関数積分に結びつける。
• フーリエ型積分およびガンマ関数に関する既知の結果を用いて、$∫_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ および $∫_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$ の評価を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数 $n,p$ に対して、$∫_0^{\pi/2} x^p \cos^n x\,dx$ の閉形式評価はどのように得られるか？
• RQ2 関数 $c(n,p)$ および $s(n,p)$ の振る舞いを支配する再帰関係は何か？ そして、高次積分を初期条件に還元するためにどのように利用できるか？
• RQ3 一般化された積分 $∫_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ および $∫_0^\infty x^{-p} \sin^{2n+1}(x+b)\,dx$ は、特殊関数および多重ゼータ値とどのように関係しているか？
• RQ4 パrameter $p$ および $b$ について積分式を微分することで、どのような新しい評価が得られるか？
• RQ5 $(\|x\|^2)$ と $\log x_j$ を含む高次元積分は、導出された手法を用いて評価可能か？

主な発見

• 再帰関係 $c(n,p) = \frac{n-1}{n}c(n-2,p) - \frac{p(p-1)}{n^2}c(n,p-2)$ を用いることで、$n,p \in \mathbb{N}$ に対して $c(n,p)$ を初期値に還元可能である。
• ウォリスの公式を用いて、$c(n,0)$ および $c(n,1)$ の閉形式が与えられる：$c(2n,0) = \frac{\pi}{2^{2n+1}}\binom{2n}{n}$ および $c(2n+1,0) = \frac{2^{2n}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}$。
• 積分 $∫_0^\infty x^{-p} \cos^{2n+1}(x+b)\,dx$ は、$\sin(\frac{\pi}{2}p - (2k+1)b)$ および $\Gamma(1-p)$ を含む有限和として表現され、二項係数および逆数項の係数を伴う。
• 主結果を $p = \frac{1}{2}$ で微分することで、$\u222b_0^\infty \log x \cos^{2n+1}x^2\,dx = -\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+3}}(\pi + 2\gamma + 4\log 2)\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{1}{\sqrt{4k+2}} - \frac{\sqrt{\pi}}{2^{2n+2}} \sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{n-k} \frac{=\log(2k+1)}{\sqrt{4k+2}}$ が得られる。
• 二重積分 $\u222b_0^\infty \u222b_0^\infty \frac{=\log x \log y}{\sqrt{xy}} \cos(x+y)\,dx\,dy = (\gamma + 2\log 2)\pi^2$ は、パラメータ統合およびガンマ関数の恒等式を用いて導出される。
• $n$ 次元積分への一般化により、$\u222b_{\mathbb{R}_+^n} \cos(\|x\|^2) \prod_{j=1}^n \log x_j \, dV = \frac{(-1)^{\Delta_n} \pi^{n/2}}{2^{2n}} \times \begin{cases} \mathop{\rm Re} \psi_n & \text{if } n \text{ even}, \\ \mathop{\rm Im} \psi_n & \text{if } n \text{ odd}, \end{cases}$ が得られ、ここで $\psi_n = (\gamma + 2\log 2 + \frac{\pi i}{2})^n e^{\pi i n/4}$ である。