[論文レビュー] The interior of charged black holes and the problem of uniqueness in general relativity

Mihalis Dafermos|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー場系の漸近的に平坦な初期データの最大未来発展が、$C^0$-拡張可能な未来境界を備えており、その上でホーキング質量が恒等的に発散することを証明することで、球対称な電荷を帯びたブラックホールにおける質量膨張現象を厳密に確立した。これにより、スカラー場の放射の価値が初期データの物理的妥当性を裏付ける上界としての役割を果たす。この結果は、アイザラエルとポッドソンのヒューリスティックな質量膨張予想を裏付け、クリストドウロウの$C^0$形式における強い宇宙望みの予想が、この系において成立しないことを示した。

ABSTRACT

We consider a spherically symmetric characteristic initial value problem for the Einstein-Maxwell-scalar field equations. On the initial outgoing characteristic, the data is assumed to satisfy the Price law decay widely believed to hold on an event horizon arising from the collapse of an asymptotically flat Cauchy surface. We establish that the heuristic mass inflation scenario put forth by Israel and Poisson is mathematically correct in the context of this initial value problem. In particular, the maximal domain of development has a future boundary, over which the spacetime is extendible as a continuous metric, but along which the Hawking mass blows up identically; thus, the spacetime is inextendible as a differentiable metric. In view of recent results of the author in collaboration with I. Rodnianski (gr-qc/0309115), which rigorously establish the validity of Price's law as an upper bound for the decay of scalar field hair, the continuous extendibility result applies to the collapse of complete asymptotically flat spacelike data where the scalar field is compactly supported on the initial hypersurface. This shows that under Christodoulou's C^0 formulation, the strong cosmic censorship conjecture is false for this system.

研究の動機と目的

• 球対称な電荷を帯びたブラックホールの文脈において、アイザラエルとポッドソンが提唱した質量膨張シナリオを厳密に検証すること。
• 無限大のホーキング質量を伴う$C^0$-拡張可能な未来境界の存在を確立し、$C^1$計量としての非拡張可能性を示すこと。
• アインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー場系において、クリストドウロウの$C^0$形式における強い宇宙望みの予想が成立しないことを示すこと。
• イベントホライズン上でのスカラー場放射のプライスの法則の減衰を上界として確認し、初期データの物理的関連性を裏付けること。
• 滑らかな初期データが非一意的かつ特異的な拡張をもたらすことを示すことにより、一般相対性理論における一意性の長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 初期出射光線特徴上でのプライスの法則の減衰を満たすデータを備えた、球対称な二重特徴的初期値問題を定式化し、アインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー場方程式を扱う。
• ホーキング質量の振る舞いと未来境界に沿った計量の正則性に注目した、詳細な幾何学的・解析的枠組みを用いて最大未来発展を分析する。
• 曲率不変量の増大を制御し、ホーキング質量の発散を確立するために、スカラー場に対するBV（有界変動）推定を適用する。
• 時空長方形の再帰的構成と、光線法線$\nu$および$\lambda$を含む積分推定を用いて、$r^{-1}$項の減衰を制御する。
• 因果構造が変化する領域を横断して情報を伝搬させるために「ジグザグ」的因果的構成を用い、進化全体に対するグローバル制御を確保する。
• ダーファモスとロドニアンスキーの先行結果に依拠し、球対称的崩壊におけるスカラー場減衰の上界としてのプライスの法則を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アイザラエルとポッドソンが提唱した質量膨張シナリオは、重力的崩壊の完全な非線形的・動的設定において成立するか？
• RQ2 漸近的に平坦な初期データの最大発展の未来境界は$C^0$計量として拡張可能か？ もし可能であれば、その先での計量の正則性はいかなるものか？
• RQ3 ホーキング質量は、コーシー時空境界に沿って恒等的に発散するか？ これにより、$C^1$計量としての非拡張性が示唆されるか？
• RQ4 クリストドウロウの$C^0$形式における強い宇宙望みの予想は、アインシュタイン＝マクスウェル＝スカラー場系において成立するか？
• RQ5 ヒューリスティックな質量膨張シナリオは、物理的に妥当なデータを備えた適切に定式化された初期値問題から厳密に導出可能か？

主な発見

• 初期データの最大未来発展には、$C^0$計量として拡張可能だが$C^1$計量として非拡張可能な未来境界が存在する。
• コーシー時空境界に沿ってホーキング質量が恒等的に発散し、非線形的設定下での質量膨張シナリオが厳密に確認された。
• 計量は$C^1$として非拡張可能であり、これはコーシー時空境界に曲率特異点が存在することを示唆するが、計量は$C^0$で正則である。
• $C^0$拡張可能性の結果は、コンパクトに支持されたスカラー場を備えた完全な漸近的に平坦な時空的初期データの崩壊に適用可能であり、プライスの法則の有効性を前提とする。
• クリストドウロウの$C^0$形式において、滑らかな初期データが非一意的拡張をもたらすため、強い宇宙望みの予想はこの系において誤りである。
• 解析により、コーシー時空境界が$C^1$特異的境界であることが確認され、電荷を帯びたブラックホール内部にこのような特異点が一般に存在するかという長年の未解決問題が解決された。