[論文レビュー] The inverse mean curvature flow in ARW spaces--transition from big crunch to big bang

Claus Gerhardt|ArXiv.org|Mar 29, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、漸近的ロバートソン・ウォーカー（ARW）時空における逆平均曲率流れ（IMCF）を研究し、流れの葉の収束を証明するとともに、再スケーリングされたIMCFの$C^3$-滑らかで微分同相な拡張を通じて、領域$N$におけるビッグクラッシュ特異点から反射時空$ abla{N}$におけるビッグバンへのグローバルに滑らかな遷移を構築する。主な結果は、反射と計量特異点の貼り合わせを通じて、自然かつグローバルに定義されたビッグクラッシュからビッグバンへの遷移を実現することである。

ABSTRACT

We consider spacetimes $N$ satisfying some structural conditions, which are still fairly general, and prove convergence results for the leaves of an inverse mean curvature flow. Moreover, we define a new spacetime $\hat N$ by switching the light cone and using reflection to define a new time function, such that the two spacetimes $N$ and $\hat N$ can be pasted together to yield a smooth manifold having a metric singularity, which, when viewed from the region $N$ is a big crunch, and when viewed from $\hat N$ is a big bang. The inverse mean curvature flows in $N$ esp $\hat N$ correspond to each other via reflection. Furthermore, the properly rescaled flow in $N$ has a natural smooth extension of class $C^3$ across the singularity into $\hat N$. With respect to this natural, globally defined diffeomorphism we speak of a transition from big crunch to big bang.

研究の動機と目的

• 構造的条件を満たす広範な宇宙論的時空クラスにおいて、逆平均曲率流れ（IMCF）の葉の収束結果を確立すること。
• 光円錐と時間関数を反射することで新しい時空$ abla{N}$を定義し、元の時空$N$と貼り合わせることで、計量特異点を持つ滑らかな多様体を形成すること。
• 時空$N$におけるIMCFと$ abla{N}$におけるその反射版との間の対応関係を示し、$N$における適切に再スケーリングされた流れが特異点を越えて$ abla{N}$へ滑らかに拡張されることを示すこと。
• ビッグクラッシュ（$N$において）からビッグバン（$ abla{N}$において）への遷移を実現するグローバルに定義された$C^3$-滑らかな微分同相写像を確立し、周期的宇宙論的シナリオをモデル化すること。

提案手法

• ARW時空$N$を、$ au = b$で有限時間特異点を有する未来漸近的ロバートソン・ウォーカー時空として定義し、$f(\tau) \to -\tau$および$\tilde{\rho} \to \text{const}$を満たし、$f$およびその導関数に対して減少性と正則性条件を課す。
• スパタイムライクな超曲面$M_0$上で正の平均曲率を有する逆平均曲率流れ（IMCF）を用い、初期データを$N$におけるIMCF方程式に従って発展させる。
• 光円錐構造を反転させ、新しい時間関数$\tilde{\tau} = -\tau$を定義することで、反射時空$ abla{N}$を構成し、$ abla{N}$において$ au = b$での特異点がビッグバンとなるようにする。
• 高階微分推定と導関数の収束を用いて、$N$における再スケーリングIMCFが特異点を越えて$ abla{N}$に$C^3$-滑らかに拡張されることを証明する。
• アインシュタイン方程式とエネルギー条件を適用し、エネルギー密度$\rho$の漸近的挙動を導出し、$\tau \to b$のとき$\rho \to \text{const}$および$\rho \tilde{\rho} \to \text{const}$となることを示す。
• 極限計量$\bar{\rho}_{ij}$が一定のスカラー曲率を持つこと、および関数$f'' + \tilde{\gamma}|f'|^2$が定数に収束することを確立し、極限の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ARW時空における逆平均曲率流れは、有限時間特異点を越えて滑らかに拡張可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ2 ビッグクラッシュ特異点を有する時空とビッグバン特異点を有する時空を幾何学的に貼り合わせて、グローバルに滑らかな多様体を形成できるか？
• RQ3 時空$N$におけるIMCFとその反射版$ abla{N}$におけるIMCFとの関係は何か？ そして、この対応関係はグローバルに定義され、滑らかな遷移をもたらすか？
• RQ4 $f(\tau)$、$f'(\tau)$およびその導関数の漸近的条件が、特異点近傍における流れの収束性と正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 エネルギー密度$\rho$および空間計量のスカラー曲率が特異点で定数に収束することは示せるか？ そして、これは極限の幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 時空$N$における逆平均曲率流れは、$\tau \to b$のとき、すべての導関数が有界かつ収束するため、極限超曲面に収束し、再スケーリングされた流れの$C^3$-滑らかさが保証される。
• エネルギー密度$\rho$は$\kappa\rho \sim \frac{1}{2}n(n-1)|f'|^2 e^{-2f}$を満たし、$\tau \to b$のとき正の定数に収束する。これは、有限で退化しない特異点を意味する。
• 極限計量$\bar{\sigma}_{ij}$は、定数スカラー曲率$R$を持つ。これは、極限の存在および滑らかな拡張のための必要条件である。
• 関数$\varphi = f'' + \tilde{\gamma}|f'|^2$は、$\tau \to b$のとき$-\frac{\gamma}{n-1}R$に収束し、$\varphi$の高階時間微分はすべて極限で消える。これにより正則性が保証される。
• 再スケーリングIMCFは、$N$における特異点を越えて$ abla{N}$に$C^3$-滑らかな解として滑らかに拡張され、自然な微分同相写像によってグローバルに定義される。
• 貼り合わせられた時空$N \cup \nabla{N}$は、単一の計量特異点を持つ滑らかなローレンツ多様体であり、特異点は$N$ではビッグクラッシュとして、$ abla{N}$ではビッグバンとして現れ、周期的宇宙論的モデルを実現する。