[論文レビュー] The inverse Monge-Ampere flow and applications to Kahler-Einstein metrics

Tristan C. Collins, Tomoyuki Hisamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、$\lambda = \pm 1$ の場合に、$2/\pi\lambda c_1(X)$ 内のケーラー計量上のドーリングエネルギー関数の勾配流として逆モンジュ＝アンペール流れを導入し、長期間の存在と、正規化された極小化のケース（$\lambda = -1$）ではケーラー＝アインシュタイン計量への収束、ファノの場合（$\lambda = 1$）ではK-安定性の下で弱収束を証明した。また、トーリックファノ多様体において、流れの極限が最適に不安定化するテスト配置に対応することを確認した。

ABSTRACT

We introduce the inverse Monge-Ampere flow as the gradient flow of the Ding energy functional on the space of Kahler metrics in $2 πλc_1(X)$ for $λ=\pm 1$. We prove the long-time existence of the flow. In the canonically polarized case, we show that the flow converges smoothly to the unique Kahler-Einstein metric with negative Ricci curvature. In the Fano case, assuming $X$ admits a Kahler-Einstein metric, we prove the weak convergence of the flow to a Kahler-Einstein metric. In general, we expect that the limit of the flow is related with the optimally destabilizing test configuration for the $L^2$-normalized non-Archimedean Ding functional. We confirm this expectation in the case of toric Fano manifolds.

研究の動機と目的

• ケーラー＝アインシュタイン計量を研究するための新しい幾何的流れとして、逆モンジュ＝アンペール流れを導入・分析すること。
• K-安定性の下で、$\lambda = \pm 1$ の場合に、$2\pi\lambda c_1(X)$ 内のケーラー計量上での流れの長期間存在を確立すること。
• 正規化された極小化のケース（$\lambda = -1$）において、滑らかな収束がK-アインシュタイン計量へに成立することを証明すること。
• K-アインシュタイン計量の存在を仮定した場合に、ファノの場合（$\lambda = 1$）で弱収束が成立することを確立すること。
• 非アルキメデス的ドーリング関数を介して、流れの極限が最適に不安定化するテスト配置に対応することを示し、トーリックファノ多様体で検証すること。

提案手法

• ドーリングエネルギー関数の勾配流として、$2\pi c_1(L)$ 内のケーラー計量の空間 $\mathcal{H}$ 上に逆モンジュ＝アンペール流れを定義する。
• 変分構造 $\delta D(\varphi) = \frac{1}{V}\int_X (\delta\varphi)(e^{\rho} - 1)\omega_\varphi^n$ を用いて、ドーリング関数 $D(\varphi)$ の変分を扱う。
• 空間 $\mathcal{H}$ 上のリーマン幾何的構造を、$L^2$ 内積 $\langle f,g\rangle_\varphi = \int_X fg \omega_\varphi^n$ を用いて定義し、流れを放物型偏微分方程式として定式化する。
• リッチ＝カラビエネルギーとその単調性を用いて流れを解析し、$\|\sigma(t) - (d+\ell)\|_{L^2(P)}$ の減衰を示す。
• バランス関数とコンパクト凸関数のジェンセンの不等式を用いて、ドーリング関数の減衰率を評価する。
• 非アルキメデス的解析と $L^2$ 正規化された非アルキメデス的ドーリング関数を用いて、トーリックファノ多様体における極限が最適に不安定化するテスト配置に対応することを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K-安定性が成立しない状況において、逆モンジュ＝アンペール流れを用いてケーラー＝アインシュタイン計量を構成できるか？
• RQ2 K-アインシュタイン計量が存在する場合、ファノの場合に逆モンジュ＝アンペール流れはK-アインシュタイン計量に収束するか？
• RQ3 逆モンジュ＝アンペール流れの極限は、非アルキメデス的ドーリング関数に関して最適に不安定化するテスト配置と関係があるか？
• RQ4 不安定なトーリックファノ多様体の場合、逆モンジュ＝アンペール流れはどのように振る舞い、その極限の性質は何か？
• RQ5 流れに沿ったリッチポテンシャルの漸近的挙動は何か？また、ペレルマン型推定が破綻するか？

主な発見

• 逆モンジュ＝アンペール流れは、$\lambda = \pm 1$ の場合に、$2\pi\lambda c_1(X)$ 内のケーラー計量空間上で、すべての時間にわたって存在する。
• 正規化された極小化のケース（$\lambda = -1$）では、負のリッチ曲率を持つ一意のケーラー＝アインシュタイン計量へ滑らかに収束する。
• ファノの場合（$\lambda = 1$）では、K-アインシュタイン計量の存在を仮定した下で、弱収束が成立する。
• 不安定なトーリックファノ多様体の場合、流れの極限は最適に不安定化するテスト配置に対応し、非アルキメデス的ドーリング関数によって同定される。
• $L^2$ ノルムとして、バランス関数 $\sigma(t)$ と最大不安定化器 $d+\ell$ の差のノルムがゼロに収束する。これは、流れが最適な不安定化へと崩壊することを確認する。
• 不安定な場合、リッチポテンシャルは流れに沿って $-\infty$ に発散する。これは、ペレルマン型推定が破綻することを示しており、ケーラー＝リッチ流れとは対照的である。