[論文レビュー] The Inverse of Exact Renormalization Group Flows as Statistical Inference

David S. Berman, Marc S. Klinger|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、関数的対流拡散方程式に従うERGフローが、ベイズ統計的推論の逆として解釈可能であることを示すことにより、正確なレノルミズーション群（ERG）フローとベイズ統計的推論の間に双対性を確立する。主な貢献は、ERGの特徴をベイズ推論の構成要素に変換する形式的な辞書を構築することであり、これにより、レノルミズーションが情報損失であるのに対し、推論は情報の獲得であることが明らかになる。

ABSTRACT

We build on the view of the Exact Renormalization Group (ERG) as an instantiation of Optimal Transport described by a functional convection-diffusion equation. We provide a new information theoretic perspective for understanding the ERG through the intermediary of Bayesian Statistical Inference. This connection is facilitated by the Dynamical Bayesian Inference scheme, which encodes Bayesian inference in the form of a one parameter family of probability distributions solving an integro-differential equation derived from Bayes' law. In this note, we demonstrate how the Dynamical Bayesian Inference equation is, itself, equivalent to a diffusion equation which we dub Bayesian Diffusion. Identifying the features that define Bayesian Diffusion, and mapping them onto the features that define the ERG, we obtain a dictionary outlining how renormalization can be understood as the inverse of statistical inference.

研究の動機と目的

• 正確なレノルミズーション群（ERG）フローとベイズ統計的推論の間の形式的双対性を確立すること。
• 関数的拡散方程式を通じてERGを情報損失のプロセスとして再解釈し、ベイズ推論による情報の獲得と対比すること。
• 「ベイズ拡散」方程式を新たに導入することで、動的ベイズ推論方程式とERGフローの対応関係を導出すること。
• ERGの構成要素（例：β関数、フロー・パラメータ）をベイズ推論の構成要素（例：尤度、事前分布、事後更新）に変換する体系的な辞書を構築すること。
• ERGにおける可レノルミズーション性とスケール依存性が、ベイズ推論におけるスキーム不変性とドリフトに対応することを示すこと。

提案手法

• 場の配置の確率分布の空間上での関数的対流拡散方程式としてERGフローを形式化すること。
• 動的ベイズ推論フレームワークを導入し、ベイズの法則から導かれる積分微分方程式に従う一パrameter族の確率分布としてのベイズ更新をモデル化すること。
• 得られた方程式を「ベイズ拡散」と呼ぶプロセスとして特定し、事前分布と尤度から導かれるドリフト項と拡散項を持つ拡散型PDEとして特徴づけること。
• 関数的形と背後にある幾何的構造を一致させることで、ベイズ拡散方程式とERGフローの等価性を確立すること。
• 最適輸送理論を用いて、ERGとベイズ推論の両方が確率空間上のフローとして解釈可能であることを示し、ERGを前向き拡散、推論を後ろ向き再構成とみなすこと。
• 最適輸送理論を用いて、ERGとベイズ推論の両方が確率空間上のフローとして解釈可能であることを示し、ERGを前向き拡散、推論を後ろ向き再構成とみなすこと。
• 確率的チャネルの随伴作用素を用いて、ペッツ写像がERGフローの逆写像を実装することを示し、チャネル理論のレベルで双対性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確なレノルミズーション群（ERG）フローは、確率分布の空間における前向き拡散プロセスとして解釈可能か？
• RQ2 逐次的なデータによる信念の更新を行う動的ベイズ推論は、ERGフローの逆とどのように関係するか？
• RQ3 ERGの関数的対流拡散方程式とベイズ拡散方程式の間の明確な数学的対応関係は何か？
• RQ4 ERGにおけるスキーム不変性とベイズ推論における事前分布の選択は、フロー方程式の構造を通じてどのように関係するか？
• RQ5 量子場の理論における可レノルミズーション性は、フローの遅延時限界において、特に安定性条件としてベイズ推論に再解釈可能か？

主な発見

• ERGフローは数学的に関数的対流拡散方程式に等しく、連続的な粗挙げプロセスとして情報損失を表す。
• 動的ベイズ推論はベイズの法則に従い、一パrameter族の確率分布を生成するが、これは拡散型PDE（「ベイズ拡散」と呼ばれる）を満たすことが示された。
• ドリフト項と拡散項を一致させた場合、ベイズ拡散方程式はERGフローと形式的に等価であり、推論とレノルミズーションの間の双対性が確立された。
• ERGフローの逆はベイズ推論に対応し、ERGにおける初期確率分布は逆プロセスにおけるベイズ更新によって再構成可能である。
• ペッツ写像は確率的チャネルの随伴作用素を提供し、ERGフローの逆を実装することが示された。これにより、チャネル理論のレベルで双対性が裏付けられた。
• 遅延時限界において、ベイズ拡散方程式は安定な事後分布に収束し、これはERGフローの固定点と類似している。これにより、レノルミズーション群の固定点とベイズ事後分布が結びつけられた。