[論文レビュー] The inverse problem for arboreal Galois representations of index two

Andrea Ferraguti, Carlo Pagano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特徴が 2 でない体上の二次多項式のアーバイトラル・ガロア表現のインデックス2の逆問題を、後期臨界軌道における平方類に関する線形従属関係に基づく明示的基準を提示することによって解決する。その結果、正規二分木の無限自己同型群のインデックス2部分群として、与えられた部分群と一致するような二次多項式のガロア表現の像が得られる条件が特定される。さらに、ℚ 上で無限回出現するような部分群がちょうど5つ存在することを証明し、それらが組合せ的不変量を用いて位相的に非同型であることを示し、無限逆ガロア問題に対して5つの異なる解が得られる。

ABSTRACT

This paper introduces a systematic approach towards the inverse problem for arboreal Galois representations of finite index attached to quadratic polynomials. Let $F$ be a field of characteristic $ eq 2$, $f\in F[x]$ be monic and quadratic and $ρ_f$ be the arboreal Galois representation associated to $f$, taking values in the group $Ω_{\infty}$ of automorphisms of the infinite binary tree. We give a complete description of the maximal closed subgroups of each closed subgroup of index at most two of $Ω_{\infty}$ in terms of linear relations modulo squares among certain universal functions evaluated in elements of the critical orbit of $f$. We use such description in order to derive necessary and sufficient criteria for the image of $ρ_f$ to be a given subgroup of index two of $Ω_\infty$. These depend exclusively on the arithmetic of the critical orbit of $f$. Afterwards, we prove that if $ϕ=x^2+t\in\mathbb Q(t)[x]$, then there exist exactly five distinct subgroups of index two of $Ω_{\infty}$ that can appear as images of $ρ_{ϕ_{t_0}}$ for infinitely many $t_0\in\mathbb Q$, where $ϕ_{t_0}$ is the specialized polynomial. We show that two of them appear infinitely often, and if Vojta's conjecture over $\mathbb Q$ holds true, then so do the remaining ones. Finally, we give an explicit description of the derived series of each subgroup of index two. Using this, we introduce a sequence of combinatorial invariants for subgroups of index two of $Ω_\infty$. With a delicate use of these invariants we are able to establish that such subgroups are pairwise non-isomorphic as topological groups, a result of independent interest. This implies, in particular, that the five aforementioned groups are pairwise distinct topological groups, and therefore yield five genuinely different instances of the infinite inverse Galois problem over $\mathbb Q$.

研究の動機と目的

• 無限根付き二分木の自己同型群 Ω∞ のすべての閉部分群のうちインデックス2のものを分類すること。
• 特徴が 2 でない体上のモニック二次多項式に付随するアーバイトラル・ガロア表現の像として現れるような、そのような部分群がどれであるかを特定すること。
• 与えられたインデックス2部分群が、二次多項式の表現の像として実現可能であるための必要十分条件を提供すること。
• Ω∞ の5つのインデックス2部分群が、位相群として互いに非同型であることを示し、ℚ 上で無限逆ガロア問題の5つの異なる実装が得られることを示すこと。

提案手法

• 後期臨界軌道によって添字づけられた 𝔽₂^(ℤ≥0) の非ゼロベクトルによるパrametrization を用いて、Ω∞ の各インデックス2部分群の最大閉部分群を分類する。
• f の後期臨界軌道の要素に代入された普遍関数の間の平方類における線形従属関係に、部分群の構造を翻訳する。
• インデックス2部分群の導来系列を用いて、それらを位相的に区別するための組合せ的不変量の系列を定義する。
• ℚ 上でヴォイタの予想が成り立つならば、5つの部分群のうち3つが、x² + t の無限回の特殊化において像として出現することを証明する。
• イハラ理論および準素群論の結果を応用して、これらの部分群の繊密商および高次導来系列を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が 2 でない体上のモニック二次多項式に付随するアーバイトラル・ガロア表現の像として、Ω∞ の閉部分群のうちインデックス2のものとして現れるのはどれか？
• RQ2 二次多項式の後期臨界軌道にどのような算術的条件が満たされると、その像がΩ∞ の特定のインデックス2部分群と一致するか？
• RQ3 インデックス2部分群の導来系列および組合せ的不変量をどのように用いることで、それらを位相群として区別できるか？
• RQ4 ℚ 上の特殊化多項式 x² + t₀ として現れる、Ω∞ の異なるインデックス2部分群はいくつ存在し、どれが無限回出現するか？
• RQ5 ヴォイタの予想などの数論的仮定のもとで、5つのインデックス2部分群すべてが無限回の t₀ ∈ ℚ に対して像として出現する条件は何か？

主な発見

• ϕ = x² + t に対して、ℚ の無限個の t₀ ∈ ℚ に対して ρϕₜ₀ の像として現れる、Ω∞ のインデックス2部分群がちょうど5つ存在する。
• その5つのうち2つは、明示的な構成により無限回出現することが示された。
• ℚ 上でヴォイタの予想が成り立つならば、残りの3つの部分群もまた、無限回の像として出現する。
• Ω∞ の5つのインデックス2部分群は、それらの導来系列から得られる組合せ的不変量の系列を用いて、位相群として互いに非同型であることが証明された。
• ρf の像がΩ∞ の与えられたインデックス2部分群と一致することは、f の後期臨界軌道の要素に代入された普遍関数の間の特定の平方類における線形従属関係が成り立つことと同値である。
• 本稿では、有限体 F×/(F×)² が有限である体、または後期臨界的有限な多項式をもつ体上のモニック二次多項式が、無限インデックスのアーバイトラル表現を持つことを示し、既存の結果を拡張した。