[論文レビュー] The inverse problem for the local ray transform

Hanming Zhou|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般の流れ（特に測地線流れに限らない）が定義されるリーマン多様体（次元≥3）上におけるX線変換の局所的単射性と安定性を確立する。重み付きスキャッタリング擬微分作用素の枠組みを用いて、共役作用素の楕円的理論を非測地線流れへ拡張することで、境界点において領域が厳密にE-凸である場合、局所的X線変換が単射であり、重み付きソボレフ空間において安定性推定が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we consider the local X-ray transform for general flows. We extend the results on the local and global invertibility of the geodesic ray transform proved by Uhlmann and Vasy \cite{UV} to the X-ray transform for a general flow. The key improvement is that our argument for the ellipticity of the conjugated operator $A_F$ (which is defined in Section 2) can be applied to flows other than the geodesic flow.

研究の動機と目的

• 単位球束上でのベクトル場Eに従う一般の流れを扱う逆問題理論を、測地線レイトラム変換の理論に拡張すること。
• 領域が境界点で厳密にE-凸である場合、その近傍における重み付きソボレフ空間上の関数に対するX線変換の局所的単射性を確立すること。
• 単一の境界点付近での最小限の凸性仮定のもとで、逆問題に対する安定性推定を導出すること。
• UhlmannとVasy [18] が測地線レイトラム変換に対して得た結果を、E-測地線流れのより広いクラスへ一般化すること。

提案手法

• E-測地線流れを、単位球束上での2階常微分方程式として定義し、Eを用いて外部力を取り入れた測地線流れの一般化を実現する。
• 関数fをE-測地線に沿って積分し、その端点を領域Xの境界上にとることで、局所的E-測地線変換を定義する。
• 境界付近での逆問題の局所化と安定化を図るため、重み関数e^{F/x}を用いてA_F = x^{-1}e^{-F/x} A e^{F/x} と定義される共役作用素A_Fを構成する。
• 変換の核上でのフーリエ解析的アプローチを用い、ガウス型およびcompactly suppored カットオフ近似に依拠して、A_Fのスキャッタリング主記号が楕円的であることを証明する。
• スキャッタリング擬微分作用素の理論を応用し、逆問題に対する重み付きL2およびソボレフ空間推定を導出する。
• レイヤーストリッピングおよびノイマン級数の議論を用いて、局所的結果からグローバルな再構成法および安定性推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 領域が境界点pで厳密にE-凸である場合、一般の流れにおける局所的X線変換は逆に可能か？
• RQ2 E-測地線変換の逆問題は、境界付近の重み付きソボレフ空間において安定性推定を満たすか？
• RQ3 測地線の場合を越えた流れに対し、共役作用素A_Fの楕円性を確立できるか？
• RQ4 E-測地線変換の局所的単射性に必要な最小の幾何的条件（例：凸性）は何か？
• RQ5 E-測地線設定において、グローバルな単射性と再構成は、局所的安定性推定からどのように導出可能か？

主な発見

• 領域が境界点pで厳密にE-凸である限り、H^s(O_p) 上での局所的E-測地線変換はs ≥ 0 に対して単射である。
• f ∈ H^s_F(O_p) に対して、‖f‖_{H^{s-1}_F(O_p)} ≤ C‖If‖_{H^s(M_{O_p})} が成り立ち、大きな重みe^{F/(x+c)} によりx = -c付近での制御が弱まる。
• 一般のE-流れに対して有効なフーリエ解析的下界を核のフーリエ変換に適用することで、共役作用素A_Fの楕円性が確立される。
• 本手法は共形計量および非自明な流れに適用可能であり、共形的ユークリッドの場合ですら、結果は新規である。
• 定義関数ρのレベル集合が厳密にE-凸であり、かつρ^{-1}([T,∞)) が零測度であるならば、L^2(X) 上でのE-測地線変換はグローバルに単射である。
• ρ^{-1}([T,∞)) が空集合であるならば、s > n/2 に対してH^s(X) 上でのE-測地線変換はグローバルに単射であり、測地線の場合の結果を一般の流れへ拡張する。