[論文レビュー] The isometry group of an $\mathsf{RCD}^*$-space is Lie

Gerardo Sosa|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、幾何的および測度論的条件下で、RCD$^*$-空間の等長群および測度を保つ等長群がリー群であることを確立している。接錐と最適輸送の性質を分析することで、リッチ極限空間や重み付きリーマン多様体を一般化するRCD$^*$-空間が、滑らかな自己同型群であるための必要十分条件を満たすことを証明し、測度付き多様体幾何における重要な問題を解決している。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions that show that both the group of isometries and the group of measure-preserving isometries are Lie groups for a large class of metric measure spaces. In addition we study, among other examples, whether spaces having a generalized lower Ricci curvature bound fulfill these requirements. The conditions are satisfied by RCD*-spaces and, under extra assumptions, by CD-spaces, CD*-spaces, and MCP-spaces. However, we show that the MCP-condition by itself is not enough to guarantee a smooth behavior of these automorphism groups. More generally we show that spaces with good optimal transport properties meet as well the hypotheses.

研究の動機と目的

• 測度付き多様体空間の等長群および測度を保つ等長群がリー群であるための必要十分条件を特定すること。
• RCD$^*$、CD、CD$^*$、MCP などの曲率次元条件が、等長群の滑らかさを保証するかを調査すること。
• 最適輸送と接錐構造が自己同型群のリー群構造を保証する役割を明らかにすること。
• MCP 条件だけでは、他の曲率境界が成立してもリー群構造を保証できないことの証明。
• リーマン多様体やアレクサンドロフ空間から得られている既知の結果を、一般化されたリッチ曲率境界を持つより広いクラスの測度付き多様体空間へと拡張すること。

提案手法

• 非自明な等長の固定点集合が小さな球内で一様に有界である条件 (a) を導入し、群の元同士の有効な分離を保証する。
• 接錐理論を適用し、m-ほとんど everywhere でユークリッド的または良好に振る舞う（例えば、カルノー群のような）接錐を仮定することで、局所的な群の振る舞いを制御する。
• 曲率次元境界を持つ空間における測度を保つ等長の分析に、最適輸送技法を適用する。
• ドゥーリング測度と一意的接錐に関する先行研究（例えば、Le Donne の定理）を応用し、リーマン幾何学を超えた枠組みを拡張する。
• 投影および再帰的輸送の議論により、高次元のネックレス構造を低次元のケースに還元する。
• ネックレス構造内の複数の「ダイヤモンド」を跨いで再帰的測地線輸送構成を用い、2-ネックレスにおけるMCP(2,3)条件の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き多様体空間の等長群がリー群であるための条件は何か？
• RQ2 リッチ極限空間や重み付きリーマン多様体を一般化するRCD$^*$-空間は、リー等長群を持つのか？
• RQ3 測度収縮性質（MCP）は、等長群がリー群であることを保証するのに十分か？
• RQ4 最適輸送の性質と接錐の正則性によって、自己同型群の滑らかさを保証できるか？
• RQ5 固定点集合条件 (a) は、等長群のリー群構造を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• Corollary 1.2 で示されるように、RCD$^*$-空間の等長群および測度を保つ等長群はリー群である。
• Theorem 1.1 の条件 (a) —— 球内で固定点集合が一様に有界であること —— は、等長群がリー群であるための必要十分条件である。
• MCP 条件だけではリー群構造を保証できないことが、無限大ネックレス空間 $ ext{ISO}( ext{FN}) = \text{ISO}_{\frak{m}}(\text{FN}) = \bigoplus_{\nu=1}^\nu \big\backslash \{ \pm 1 \}$ の反例によって示された。
• 2-ネックレスにおけるMCP(2,3)条件の証明は、$ ilde{x}$ から $ ilde{x}$、$M^1$ を経由し、$A_{x'}$ へと至る三つの領域に跨る再帰的測地線輸送構成に依存しており、相対的な高さ比を保存する。
• 最初のセグメントでMCP不等式を検証するために、密度推定式 $\frac{d\frak{n}_t}{d\frak{m}}(\nu_t) \leq \frac{1}{t^2} \frac{h(x_t,D_1)}{h(x,D_1)} \frac{d\frak{n}_1}{d\frak{m}}(\nu_1)$ が用いられる。
• $t \in [\hat{t},1]$ の範囲では、$y$-座標における相対的密度が一定であり、問題はすでに既知の 0-ネックレスの場合に還元され、MCP(2,3) を満たすことが知られている。