[論文レビュー] The Julia set of a post-critically finite endomorphism of PC^2

Volodymyr Nekrashevych|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上の post-critically finite な自己準同型 $ f(z,w) = \big((1 - 2z/w)^2, (1 - 2/w)^2 \big) $ のジュリア集合について、反復モノドロミー群とねじれ積構造を用いて組み合わせ的モデルを構築する。折りたたみ写像を用いた多面体近似により、ジュリア集合がこれらの近似複体の逆極限であることを証明する。

ABSTRACT

We construct a combinatorial model of the Julia set of the endomorphism $f(z, w)=((1-2z/w)^2, (1-2/w)^2)$ of $PC^2$.

研究の動機と目的

• 特定の post-critically finite な $\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上の自己準同型のジュリア集合の組み合わせ的モデルを構築すること。
• ジュリア集合を、それを近似する3次元多面体複体の列の逆極限として記述すること。
• 写像のねじれ積構造を活用し、ジュリア集合をハバーバンド・トライポッドのバンドルとしてモデル化すること。
• 反復モノドロミー群からの群論的データを用いて、カットアンドパーストの帰納的構成法により近似を構築すること。
• ジュリア集合の $w$-座標上の点における纤维を解析し、それが有限の木であるための条件を同定すること。

提案手法

• 写像 $f$ の反復モノドロミー群（IMG）を用い、その拡張として2次の指数を持つ群 $\Gamma$ を定義し、力学系をモデル化する。
• 群 $\Gamma$ の核を、6つの有限部分群の和集合として構成し、これを順序集合（poset）として用いて初期の単体的複体を構築する。
• 極限空間の最初の近似を、共通の面を共有する3つの正四面体からなる複体とし、それを二重化してジュリア集合をモデル化する。
• 帰納的なカットアンドパースト則を定義：各段階 $\mathcal{M}_n$ は、11の領域に分割された境界に沿って2つの $\mathcal{T}_n$ のコピーを貼り合わせることで得られる。
• 境界写像 $\kappa_{g,n}$ のうち5つを用い、4つの $\mathcal{T}_n$ のコピーを $\mathcal{T}_{n+1}$ に貼り合わせる。この過程は、群 $\Gamma$ を定義する有限オートマトンに従う。
• ジュリア集合が近似複体 $\mathcal{M}_n$ の逆極限であることを証明し、結合写像 $\iota_n$ が特定の点上の纤维に沿って同相写像を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジュリア集合の点 $w_0$ 上の纤维が有限の木であるのはどのような条件下か？
• RQ2 post-critically finite な $\mathbb{P}\mathbb{C}^2$ 上の自己準同型のジュリア集合を、群論的データを用いてどのように組み合わせ的にモデル化できるか？
• RQ3 写像 $f$ の反復モノドロミー群の極限空間の構造は何か？ また、ジュリア集合とどのように関係しているか？
• RQ4 写像 $f$ のねじれ積構造は、ジュリア集合をハバーバンド・トライポッドのバンドルに分解することをどのように可能にするか？
• RQ5 $f$ を $w_0$ 上の纤维に制限した写像が、テント写像または二次多項式と位相的に共役になるのはいつか？

主な発見

• 写像 $f$ のジュリア集合は、3次元多面体複体 $\mathcal{M}_n$ の列の逆極限と同相であり、各 $\mathcal{M}_n$ はカットアンドパーストの構成法により近似されている。
• $w=1$ の点上の纤维 $\rho^{-1}(A')$ は、写像 $p \circ \theta$ に関して不変な線分であり、この写像はテント写像として作用する。対応する断面 $J_1$ は写像 $z \mapsto (1-2z)^2$ と位相的に共役である。
• $\rho^{-1}(\zeta)$ が有限の木であるのは、点 $\zeta$ が写像 $\widehat{f}(w) = (1 - 2/w)^2$ によって最終的に固定点 $1$ に写されるとき、かつそのときに限る。
• 極限のデンドリット $\rho_\infty^{-1}(\zeta)$ が有限グラフであるのは、写像 $F$ によるトライポッドの長さの経路が、唯一の非ゼロの脚を持つ状態に到達するときである。
• 近似複体 $\mathcal{M}_n$ は、11の領域に分割された境界に沿って2つの $\mathcal{T}_n$ のコピーを貼り合わせることで構成され、各領域は対合写像 $\kappa_{g,n}$ によって制御される。
• $w_0$ 上の纤维に写像が $w=1$ に到達する点については、その上の力学系はウラム＝フォン・ノイマン写像と位相的に共役であり、対応するジュリア集合は区間 $[0,1]$ に一致する。