[論文レビュー] The Kähler-Ricci flow on projective bundles

Jian Song, Gábor Székelyhidi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的多様体 $B$ 上の射影バンドル $X = \mathbb{P}(E)$ におけるケーラー・リッチフローを研究し、初期ケーラー類に自然な条件が満たされる場合、フローが有限時刻でファイバーが崩壊し、計量が Gromov-Hausdorff 収束によって基底 $B$ 上の極限計量に収束することを示している。主な結果は、一様な直径の減少と計量の有界性推定を用いて、有限時刻でのファイバー崩壊と基底計量への収束を確立する。

ABSTRACT

We study the behaviour of the Kähler-Ricci flow on projective bundles. We show that if the initial metric is in a suitable Kähler class, then the fibers collapse in finite time and the metrics converge subsequentially in the Gromov-Hausdorff sense to a metric on the base.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体 $B$ 上の射影バンドル $X = \mathbb{P}(E)$ におけるケーラー・リッチフローの長期間的挙動を分析すること。
• 特異時刻 $T$ に近づく際のフローの Gromov-Hausdorff 極限を理解すること、特に極限ケーラー類が基底 $B$ のケーラー類の引き戻しである場合に注目すること。
• 有限時刻でのファイバー崩壊と基底への収束を示すために必要な、フローに沿ったケーラー計量に対する一様推定を確立すること。
• 対称的ケースに制限された既存の結果を、任意の初期ケーラー計量をもつ射影バンドルの一般ケースに拡張すること。

提案手法

• ケーラー・リッチフローの放物型複素 Monge-Ampère 方程式の定式化を用い、ケーラー計量 $\omega(t)$ に対する一様な上界と下界を導出する。
• 参照計量と下界関数の推定を用いた最大値原理の議論により、一様上界 $\omega(t) \leq C\omega_0$ を確立する。
• 曲率推定と最大値原理の組み合わせにより、ファイバー $F$ に対する一様な直径減少推定 $\mathrm{diam}_{\omega(t)}F \leq C(T-t)^{1/3}$ を証明する。
• フローに誘導される距離関数 $d_t$ に対して Arzelà-Ascoli の定理を適用し、$t \to T$ の際に $X$ 上の計量の収束部分列を抽出する。
• 計量空間 $X$ 上に極限距離関数 $d_{\infty}$ を定義し、ファイブレーション写像 $\pi$ を用いてそれを基底 $B$ に投影し、$B$ 上の極限計量 $d_{B,\infty}$ を得る。
• Gromov-Hausdorff 収束の基準を用いて、$(X, \omega(t_i))$ が $t_i \to T$ の際に $(B, d_{B,\infty})$ に収束することを示し、$d_{B,\infty}$ が基底計量 $\omega_B$ と一様同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影バンドル $X = \mathbb{P}(E)$ におけるケーラー・リッチフローが、どのような条件下で有限時刻でのファイバー崩壊を引き起こすか？
• RQ2 極限ケーラー類が基底 $B$ からのケーラー類の引き戻しである場合、フローの Gromov-Hausdorff 極限が基底多様体 $B$ 上の計量として特定可能か？
• RQ3 このような収束を保証するためには、ケーラー計量およびファイバーの直径にどのような一様推定が必要か？
• RQ4 極限クラスが基底からの引き戻しである場合と、点または表面クラスである場合とで、フローの挙動はどのように異なるか？
• RQ5 収束結果は、対称的初期計量に制限されない一般のケーラー計量をもつ射影バンドルへと拡張可能か？

主な発見

• 射影バンドル $X = \mathbb{P}(E)$ におけるケーラー・リッチフローは、時刻 $T$ で有限時刻特異点を発生し、極限ケーラー類は $[\omega_0] + Tc_1(K_X) = \pi^*\omega_B$ を満たす。ここで $\omega_B$ は基底 $B$ 上のケーラー計量である。
• フロー計量は一様上界を満たす：すべての $t \in [0,T)$ に対して $\omega(t) \leq C\omega_0$ であり、$C$ は $t$ に依存しない。
• 各ファイバー $F$ の直径は一様に減少する：$\mathrm{diam}_{\omega(t)}F \leq C(T-t)^{1/3}$ であり、これは有限時刻でのファイバー崩壊を示唆する。
• 時刻 $t_i \to T$ を満たす数列 $\{t_i\}$ が存在し、計量空間 $(X, \omega(t_i))$ は Gromov-Hausdorff 収束によって基底 $B$ 上の計量空間 $(B, d_{B,\infty})$ に収束する。
• 基底 $B$ 上の極限計量 $d_{B,\infty}$ は、基底ケーラー計量 $\omega_B$ によって誘導される距離関数と一様同値である。
• 対称的初期計量に制限された既存の収束結果を、任意の初期ケーラー計量をもつ射影バンドルの一般ケースにまで拡張した。