[論文レビュー] The Kadison-Singer Problem for Strongly Rayleigh Measures and Applications to Asymmetric TSP

Nima Anari, Shayan Oveis Gharan|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、ケイディソン＝シュไersion問題に対するマーカス＝スピルマン＝スリヴァスタの解法を、強いレイリー分布へ拡張し、有界なノルムと小さなマージナル確率をもつ等方的ベクトルに対して、そのサポート内に存在する部分集合について、二次形式の和のスペクトルノルムが小さいことを証明する。主な結果は、$4(\epsilon_1 + \epsilon_2) + 2(\epsilon_1 + \epsilon_2)^2$ のスペクトルバウンドを確立し、非対称TSPのLP緩和の整数性ギャップに対する改善された上界を可能にする。

ABSTRACT

Marcus, Spielman, and Srivastava in their seminal work \cite{MSS13} resolved the Kadison-Singer conjecture by proving that for any set of finitely supported independently distributed random vectors $v_1,\dots, v_n$ which have "small" expected squared norm and are in isotropic position (in expectation), there is a positive probability that the sum $\sum v_i v_i^\intercal$ has small spectral norm. Their proof crucially employs real stability of polynomials which is the natural generalization of real-rootedness to multivariate polynomials. Strongly Rayleigh distributions are families of probability distributions whose generating polynomials are real stable \cite{BBL09}. As independent distributions are just special cases of strongly Rayleigh measures, it is a natural question to see if the main theorem of \cite{MSS13} can be extended to families of vectors assigned to the elements of a strongly Rayleigh distribution. In this paper we answer this question affirmatively; we show that for any homogeneous strongly Rayleigh distribution where the marginal probabilities are upper bounded by $ε_1$ and any isotropic set of vectors assigned to the underlying elements whose norms are at most $\sqrt{ε_2}$, there is a set in the support of the distribution such that the spectral norm of the sum of the natural quadratic forms of the vectors assigned to the elements of the set is at most $O(ε_1+ε_2)$. We employ our theorem to provide a sufficient condition for the existence of spectrally thin trees. This, together with a recent work of the authors \cite{AO14}, provides an improved upper bound on the integrality gap of the natural LP relaxation of the Asymmetric Traveling Salesman Problem.

研究の動機と目的

• 独立な分布から強いレイリー分布へのマーカス＝スピルマン＝スリヴァスタの定理の一般化を目的とする。
• マージナル確率が小さく、ベクトルノルムが有界な均一な強いレイリー分布に従う要素に割り当てられたベクトルの二次形式の和のスペクトルノルムバウンドを確立する。
• 主定理を応用して、スペクトル的に細い木の存在を証明し、非対称TSPのLP緩和の整数性ギャップの上界を改善する。
• 非アルゴリズム的だが存在に基づく結果を提供し、非対称TSPにおける将来的なアルゴリズム的進展の道を開く。

提案手法

• 実安定多項式および混合特徴多項式の理論を活用し、強いレイリー測度下でのベクトル和の二次形式のスペクトルノルムを分析する。
• 分布 $\mu$ およびベクトル $v_1, \dots, v_m$ に関連する混合特徴多項式の概念を用い、最大固有値（すなわち、和のスペクトルノルムに相当する）をバウンドする。
• 変数の増分による多変数バリア法を用いて、多項式の根の進化を制御し、最大根が有界に保たれることを保証する。
• 分割問題を製品測度設定に還元するためのリフト技術を用い、主定理を r 分割問題に応用可能にする。
• 交差性族フレームワークを用いて、$\mu$ のサポート内に少なくとも1つの集合が所望のスペクトルバウンドを達成することを示す。
• スペクトルノルムをパrameter $\epsilon_1 + \epsilon_2$ を介して制御するため、マージナル確率とベクトルノルムのバウンドを導出する。ここで $\epsilon_1$ は最大マージナル確率、$\epsilon_2$ は最大ベクトルノルムの二乗である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立なベクトルに対するマーカス＝スピルマン＝スリヴァスタのスペクトルノルムバウンドが、強いレイリー測度下の負の依存性を持つベクトルへ拡張可能か。
• RQ2 マージナル確率が小さく、ノルムが有界な強いレイリー分布に従う要素に割り当てられたベクトルに対して、二次形式の和のスペクトルノルムバウンドはどの程度達成可能か。
• RQ3 この拡張されたバウンドを用いて、グラフにおけるスペクトル的に細い木の存在を証明し、非対称TSPの整数性ギャップの上界を改善できるか。
• RQ4 多変数バリア法は非独立分布下でも根の進化を制御するために有効か。さらに、アルゴリズム的保証をもたらすように改善可能か。

主な発見

• 本論文は、任意の均一な強いレイリー分布について、マージナル確率が $\epsilon_1$ 以下であり、等方的ベクトルについて $\|v_i\|^2 \leq \epsilon_2$ であるとき、そのサポート内に集合 $S$ が存在し、$\left\|\sum_{i \in S} v_i v_i^\top\right\| \leq 4(\epsilon_1 + \epsilon_2) + 2(\epsilon_1 + \epsilon_2)^2$ を満たすことを証明する。
• この結果は、元のマーカス＝スピルマン＝スリヴァスタの定理（独立分布に限る）を、デターミナント測度やスパニングツリー測度を含むより広い強いレイリー測度のクラスへ一般化する。
• このバウンドは、特定の条件下でスペクトル的に細い木の存在を証明するために応用され、先行研究と組み合わせることで、非対称TSPのLP緩和の整数性ギャップの上界が改善される。
• 本論文は、非アルゴリズム的で存在に基づく結果を確立する。アルゴリズムが多項式時間で得られるわけではないが、非対称TSPにおける将来的なアルゴリズム的進展の理論的基盤を提供する。
• 本手法は、$r \geq 5$ に対してウィーバーのKSr予想を証明することで検証された。これにより、任意の等方的ベクトル集合について $\|v_i\|^2 \leq \epsilon$ であれば、各部分集合のスペクトルノルムが $4(1/r + \epsilon) + 2(1/r + \epsilon)^2$ 以下となるような $r$ 分割が存在することが示された。
• 解析は、混合特徴多項式に適用された新規な多変数バリア法に依拠しており、変数の増分に伴う微分と根の進化をきめ細かく制御している。