[論文レビュー] The Kuranishi-space of complex parallelisable nilmanifolds

Sönke Rollenske|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素平行化可能な-nilmanifoldのKuranishi空間を調査し、その変形空間が有界な次数の多項式方程式によって定義されることを示しているが、ほとんど常に特異的であることを明らかにした—Calabi-Yau多様体で見られる滑らかさの期待とは対照的である。主な貢献は、変形の障害が二次より高次のものになり得ることを示したことである。これは、Tian-Todorov定理がこのクラスの-nilmanifoldに拡張されないことを示している。

ABSTRACT

We show that the deformation space of complex parallelisable nilmanifolds can be described by polynomial equations but is almost never smooth. This is remarkable since these manifolds have trivial canonical bundle and are holomorphic symplectic in even dimension. We describe the Kuranishi space in detail in several examples and also analyse when small deformations remain complex parallelisable

研究の動機と目的

• 複素-nilpotentリー群のコンパクトな商として得られる複素平行化可能な-nilmanifoldのKuranishi空間の構造を調査すること。
• これらの多様体が、正則な正接 bundle を持ち、偶数次元では複素シンプレクティックであるにもかかわらず、Calabi-Yau多様体と同様に非障害的変形を許容するかを特定すること。
• 小さな変形が複素平行化構造を保つ条件を分析すること。
• Kuranishi空間が特異的で、かつ二次式によっては切り出されない例を明示的に構成すること。

提案手法

• Kuranishiの変形理論を用いて、ヘルミート計量とMaurer-Cartan方程式の明示的解を用いてKuranishi空間を構成する。
• 第一階層の変形を記述するために、Dolbeaultコホロロジーと $ H^1(X, \Theta_X) $ の計算に依拠する。
• シューテン括弧とMaurer-Cartan方程式の反復的解法を用いて、高次障害を計算する。
• 左不変微分形式とリー代数上の複素構造を用いて、変形問題を代数的にモデル化する。
• 低次元（4次元および5次元）および7次元の非平行化可能な例において明示的計算を行い、一般理論を説明する。
• 左不変複素構造がアーベルでない7次元-nilmanifoldを構成し、3次元で非自明な障害が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平行化可能な-nilmanifoldのKuranishi空間は、Calabi-Yauの場合と同様に常に滑らかか？
• RQ2 Kuranishi空間は多項式方程式によって記述可能か？その方程式の最大次数は何か？
• RQ3 二次以上の高次障害が、複素平行化可能な-nilmanifoldの変形を妨げる例は存在するか？
• RQ4 小さな変形が複素平行化可能な-nilmanifoldの構造を保つ条件は何か？
• RQ5 左不変複素構造を持つ非平行化可能な-nilmanifoldのKuranishi空間は、特異的で、かつ二次式によっては切り出されない方程式で定義されるか？

主な発見

• 複素平行化可能な-nilmanifoldのKuranishi空間は、リー群の冪零クラス $ \nu $ に対して、次数が高々 $ \nu $ の多項式方程式によって切り出される。
• Kuranishi空間はほとんど常に特異的であり、Calabi-Yau多様体からの期待とは対照的であり、Tian-Todorov定理がこのクラスに拡張されないことを示している。
• 7次元の例では、3次元で非自明な障害が現れ、Kuranishi空間が二次式によって切り出されないことを証明している。
• 3次元の障害は、正則接バンドル値の $ \overline{\partial} $-閉でない $ (0,1) $-形式に起因する。
• シューテン括弧とMaurer-Cartan方程式の明示的計算により、この障害が非自明であることが示された。
• この結果は、正則な正接 bundle が自明で、偶数次元で複素シンプレクティックである場合でさえ、変形空間が特異的になり得ることを示している。