[論文レビュー] The $L_\infty$-deformations of associative Rota-Baxter algebras and homotopy Rota-Baxter operators

Apurba Das, Satyendra Kumar Mishra|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヴォロノフの導来括弧構成法とモーラー・カルタン要素によるねじれを用いて、相対ロータ・バーベル代数の変形を制御する $L_∞[1]$-代数を構成する。相対ロータ・バーベル代数のコホロジー理論を定義し、基礎となる代数-双モジュール対、ロータ・バーベル作用素、および完全な構造のコホロジーを結ぶ長完全系列を確立するとともに、ホモトピー的ロータ・バーベル作用素とホモトピー的双対木構造および前リーダーブル代数との関係を示す。

ABSTRACT

A relative Rota-Baxter algebra is a triple $(A, M, T)$ consisting of an algebra $A$, an $A$-bimodule $M$, and a relative Rota-Baxter operator $T$. Using Voronov's derived bracket and a recent work of Lazarev et al., we construct an $L_\infty [1]$-algebra whose Maurer-Cartan elements are precisely relative Rota-Baxter algebras. By a standard twisting, we define a new $L_\infty [1]$-algebra that controls Maurer-Cartan deformations of a relative Rota-Baxter algebra $(A,M,T)$. We introduce the cohomology of a relative Rota-Baxter algebra $(A, M, T)$ and study infinitesimal deformations in terms of this cohomology (in low dimensions). As an application, we deduce cohomology of coboundary skew-symmetric infinitesimal bialgebras and discuss their infinitesimal deformations. Finally, we define homotopy relative Rota-Baxter operators and find their relationship with homotopy dendriform algebras and homotopy pre-Lie algebras.

研究の動機と目的

• 相対ロータ・バーベル代数の変形理論を $L_\infty$-代数を用いて発展させること。
• $L_\infty[1]$-代数構造のねじれを用いて、相対ロータ・バーベル代数のコホロジー理論を定義すること。
• 基礎となる $\mathsf{AssBimod}$-対、ロータ・バーベル作用素、および完全な相対ロータ・バーベル代数のコホロジーを結ぶ長完全系列を確立すること。
• ロータ・バーベル作用素をホモトピー的設定に一般化し、ホモトピー的双対木構造および前リーダーブル代数と関係づけること。
• この枠組みをコブラクチャ・スケューメトリックなインфинティズマル・バイアリジブラに適用し、その変形を研究すること。

提案手法

• モーラー・カルタン要素が $\mathsf{AssBimod}$-対 $(A,M)$ であるような次数付きリーダーブル代数を構成し、それによってこのような対の変形のための微分付きリーダーブル代数を構築する。
• ヴォロノフの高次導来括弧構成法を適用し、モーラー・カルタン要素が相対ロータ・バーベル代数 $(A,M,T)$ であるような $L_\infty[1]$-代数を構築する。
• 標準的な $L_\infty[1]$-代数のねじれをモーラー・カルタン要素によって行い、固定された相対ロータ・バーベル代数の変形を制御する新しい $L_\infty[1]$-代数を得る。
• 相対ロータ・バーベル代数のコホロジーを、ねじれた $L_\infty[1]$-代数のコホロジーとして定義する。
• $(A,M,T)$ のコホロジー、$(A,M)$ のコホロジー、および作用素 $T$ のコホロジーを結ぶ長完全系列を確立する。
• ホモトピー的相対ロータ・バーベル作用素を定義し、厳密なものの場合は、部分随伴構成により双モジュール $M$ 上に $Dend_\infty[1]$-代数構造を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、モーラー・カルタン要素が相対ロータ・バーベル代数 $(A,M,T)$ であるような $L_\infty[1]$-代数を構成できるか？
• RQ2 相対ロータ・バーベル代数のコホロジー理論とは何か？ そして、無限小変形をどのように制御するか？
• RQ3 基礎となる $\mathsf{AssBimod}$-対、ロータ・バーベル作用素、および完全な構造のコホロジーはどのように関係しているか？
• RQ4 ホモトピー的相対ロータ・バーベル作用素とホモトピー的双対木構造または前リーダーブル代数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 コブラクチャ・スケューメトリックなインフィニティズマル・バイアリジブラは $r$-行列からどのように生じるか？ そして、それらの変形はどのように支配されるか？

主な発見

• ヴォロノフの導来括弧構成法と、事前に構築された $\mathsf{AssBimod}$-対のための $L_\infty[1]$-代数を用いて、モーラー・カルタン要素が正確に相対ロータ・バーベル代数 $(A,M,T)$ であるような $L_\infty[1]$-代数が構成された。
• 元の $L_\infty[1]$-代数をモーラー・カルタン要素によってねじることで、固定された相対ロータ・バーベル代数の変形を制御する新しい $L_\infty[1]$-代数が得られた。
• 相対ロータ・バーベル代数のコホロジーは、ねじれた $L_\infty[1]$-代数のコホロジーとして定義され、無限小変形はその第二コホロジー空間によって分類される。
• $(A,M)$ のコホロジー、$T$ のコホロジー、および完全な相対ロータ・バーベル代数 $(A,M,T)$ のコホロジーを結ぶ長完全系列が確立された。
• 厳密なホモトピー的相対ロータ・バーベル作用素は、双モジュール $M$ 上に $Dend_\infty[1]$-代数構造を誘導し、構造写像は $\mu_{k,[r]}(u_1,\ldots,u_k) = \eta_k(Tu_1,\ldots,u_r,\ldots,Tu_k)$ で与えられる。
• $A_\infty[1]$-代数と $A$ 上の $L_\infty[1]$-代数構造から誘導される $M$ 上の部分随伴 $pre$-$Lie_\infty[1]$-代数構造が一致することが示され、構成の整合性が証明された。