[論文レビュー] Generalized Derivations and Rota-Baxter Operators of $n$-ary Hom-Nambu Superalgebras

Sami Mabrouk, Othmen Ncib+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 74被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$(n-2)$-cochain を用いて $n$-ary Hom-Nambu および Hom-Lie super代数を一般化し、この文脈で一般化された微分作用素と Rota-Baxter 演算子を導入する。Rota-Baxter 演算子が $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を誘導することを確立し、$3$-Hom-Lie super代数上での可逆な Rota-Baxter 演算子が、互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造の存在と同値であることを証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to generalise the construction of $n$-ary Hom-Lie bracket by means of an $(n-2)$-cochain of given Hom-Lie algebra to super case inducing a $n$-Hom-Lie superalgebras. We study the notion of generalized derivation and Rota-Baxter operators of $n$-ary Hom-Nambu and $n$-Hom-Lie superalgebras and their relation with generalized derivation and Rota-Baxter operators of Hom-Lie superalgebras. We also introduce the notion of $3$-Hom-pre-Lie superalgebras which is the generalization of $3$-Hom-pre-Lie algebras.

研究の動機と目的

• Hom-Lie super代数の $(n-2)$-cochain を用いた $n$-ary Hom-Lie super代数の構成を一般化すること。
• 一般化された微分作用素と Rota-Baxter 演算子を $n$-ary Hom-Nambu および $n$-Hom-Lie super代数において研究すること。
• $3$-Hom-pre-Lie super代数を $3$-Hom-pre-Lie 代数の一般化として導入し、分析すること。
• $3$-Hom-Lie super代数上での Rota-Baxter 演算子と互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造の関係を確立すること。
• $3$-Hom-Lie super代数上での可逆な Rota-Baxter 演算子が、互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を誘導することを証明すること。

提案手法

• 特定の適合条件を満たす Hom-Lie super代数と $(n-2)$-cochain を用いて $n$-ary Hom-Nambu super代数を構成する。
• 基礎となる Hom-Lie super代数構造を用いて、$n$-ary Hom-Nambu および $n$-Hom-Lie super代数上での一般化された微分作用素と Rota-Baxter 演算子を定義する。
• Rota-Baxter 演算子 $R$ を用いた式 $\{x,y,z\} = \mathrm{ad}_{(R(x),R(y))}(z)$ を通じて $3$-Hom-pre-Lie super代数を導入する。
• 超 Nambu の恒等式と Rota-Baxter の性質を用いて、誘導された括弧が $3$-Hom-pre-Lie super代数の公理を満たすことを検証する。
• もし $R$ が可逆な Rota-Baxter 演算子であれば、誘導された括弧 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$ が、互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を定義することを証明する。
• 画像 $R(A)$ が誘導された積 $\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$ を通じて $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を継承することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hom-Lie super代数と $(n-2)$-cochain を用いて、$n$-ary Hom-Nambu および $n$-Hom-Lie super代数をどのように構成できるか？
• RQ2 一般化された微分作用素と Rota-Baxter 演算子の間には、$n$-ary Hom-Nambu および $n$-Hom-Lie super代数においてどのような関係があるか？
• RQ3 Rota-Baxter 演算子が $3$-Hom-Lie super代数上での $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を誘導するための条件は何か？
• RQ4 $3$-Hom-Lie super代数上での互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造と可逆な Rota-Baxter 演算子の間には一対一対応があるか？
• RQ5 画像 $R(A)$ 上の $3$-Hom-pre-Lie super代数構造は、元の $A$ 上の構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 特定の適合条件の下で、Hom-Lie super代数と $(n-2)$-cochain から $n$-ary Hom-Nambu super代数を構成することは有効である。
• Rota-Baxter 演算子は、$n$-ary Hom-Nambu および $n$-Hom-Lie super代数上で恒等式 $R([x,y,z]_C) = [R(x),R(y),R(z)]$ を満たす。
• Rota-Baxter 演算子 $R$ が存在するとき、$A$ 上の誘導された括弧 $\{x,y,z\}_{C}$ は $3$-Hom-pre-Lie super代数の公理を満たす。
• 画像 $R(A)$ は、$\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$ を通じて $3$-Hom-pre-Lie super代数構造を継承する。
• 可逆な Rota-Baxter 演算子 $R$ が $3$-Hom-Lie super代数上に存在する場合、式 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$ を用いて、$A$ 上に互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造が誘導される。
• $3$-Hom-Lie super代数上に互換性を持つ $3$-Hom-pre-Lie super代数構造が存在することは、その上に可逆な Rota-Baxter 演算子が存在することと同値である。