[論文レビュー] The $L_p$ dual Minkowski problem for $p>1$ and $q>0$

Károly J. Böröczky, Ferenc Fodor|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、p > 1およびq > 0のパラメータに対して、Lp二重Minkowski問題の存在部分を解決する。与えられた単位球面上の正のBorel測度と一致するLp二重曲率測度を持つ凸体の存在を確立する。証明は、変分法と、楕円体近似および測度推定に基づく背理法を用いたMonge-Ampère型偏微分方程式の解法に依拠し、原点中心性や測度の非退化性といった自然な幾何的制約下で解の存在を示す。

ABSTRACT

General $L_p$ dual curvature measures have recently been introduced by Lutwak, Yang and Zhang. These new measures unify several other geometric measures of the Brunn-Minkowski theory and the dual Brunn-Minkowski theory. $L_p$ dual curvature measures arise from $q$th dual inrinsic volumes by means of Alexandrov-type variational formulas. Lutwak, Yang and Zhang formulated the $L_p$ dual Minkowski problem, which concerns the characterization of $L_p$ dual curvature measures. In this paper, we solve the existence part of the $L_{p}$ dual Minkowski problem for $p>1$ and $q>0$, and we also discuss the regularity of the solution.

研究の動機と目的

• p > 1およびq > 0のLp二重Minkowski問題の解の存在を確立すること。
• 凸体のLp二重曲率測度を単位球面上の正のBorel測度として特徴付けること。
• 与えられた正のBorel測度μが、適切な条件下で、Kn(o)に属するある凸体KのLp二重曲率測度として現れることを証明すること。
• 古典的Minkowski問題の枠組みを、Lp二重曲率測度の設定に拡張し、Brunn-Minkowski理論と双対Brunn-Minkowski理論の側面を統合すること。

提案手法

• 著者たちは、Alexandrov型の公式に基づく変分的アプローチを用い、Lp二重曲率測度をq次の双対内接体積に関連付ける。
• 問題を、凸体の支持関数および径向関数に関連するMonge-Ampère型PDEの解法に帰着させる。
• 近似凸体の列の存在を仮定し、法空間における楕円体近似を用いてその挙動を分析することで、背理法を用いる。
• 幾何学的・解析的道具（Johnの定理、Loewnerの楕円体を含む）を用いて、支持関数の部分集合の測度を推定する。
• 凸関数vのヘッシアン行列式に関する重要な推定を導出し、不等式det(D²v) ≤ c₂ v^{p−1} on Ωεを介してLp二重曲率測度と関連付ける。
• 測度濃度の比較を通じて背理が生じる。zε + 1/(2n)EεとΩε上の測度比を用い、ε → 0のとき矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた正のBorel測度μが、p > 1およびq > 0の下で、Kn(o)に属する凸体KのLp二重曲率測度として現れる条件は何か？
• RQ2 変分的およびPDEに基づく手法を用いて、Lp二重Minkowski問題の解の存在を確立できるか？
• RQ3 解の存在を保証するため、測度μが満たすべき幾何学的・解析的制約は何か？
• RQ4 解の正則性は、特にq > nのとき、パrameter pおよびqにどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、与えられた測度μが正で原点に中心を持つという条件下で、すべてのp > 1およびq > 0に対してLp二重Minkowski問題の解の存在を確立する。
• 解の存在は、法空間における近似楕円体上の測度濃度の挙動に基づく背理法によって示される。
• 著者たちは、µv(zε + 1/(2n)Eε) ≥ ℵ₃ µv(Ωε)という測度比が成り立つことを証明し、ε → 0のとき矛盾を導く。
• 不等式 |˜v(o)| / |˜v(zε)| ≤ ℵ₄ (2ε / (γ hε))^{1/n} がε → 0のとき成立できないことから、背理が生じる。これは limε→0+ ε/hε = 0 であるためである。
• q > nのとき、この手法は失敗する。なぜなら、v(y)が小さいとき ∥Dv(y)∥^{n−q} が発散するため、主要な推定が破綻するからである。
• 結果は、古典的Minkowski問題およびLp表面積測度問題を、より広範なLp二重曲率測度の枠組みへと拡張する。