[論文レビュー] The Lambda-Fleming-Viot process and a connection with Wright-Fisher diffusion

Robert Griffiths|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\Lambda$-Fleming-Viot過程とWright-Fisher拡散の間の新しい関係を確立し、前者の生成作用素を、測度$\Lambda$から導かれる確率変数$W$を用いたランダムな線形引数をとる修正されたWright-Fisher生成作用素として表現することで、多項式テスト関数を用いて固有値と固有関数の明示的計算を可能にした。主な結果として、選択係数が臨界閾値を超える場合、遺伝子選択下で固定が確実に発生することの解析的証明がなされた。

ABSTRACT

The d-dimensional Lambda-Fleming-Viot generator acting on functions g(x), with x being a vector of d allele frequencies, can be written as a Wright-Fisher generator acting on functions g with a modified random linear argument of x induced by partitioning occurring in the Lambda-Fleming-Viot process. The eigenvalues and right polynomial eigenvectors are easy to see from this representation. The two-dimensional process, which has a one-dimensional generator, is considered in detail. A non-linear equation is found for the Green's function. In a model with genic selection a proof is given that there is a critical selection value such that if the selection coefficient is greater or equal to the critical value then fixation, when the boundary 1 is hit, has probability 1 beginning from any non-zero frequency. This is an analytic proof different from proofs by Der, Epstein and Plotkin (2011) and Foucart (2013). When fixation is not certain the fixation probability can be computed from an algorithm in the paper. An application in the infinitely-many-alleles Lambda-Fleming-Viot process is finding an interesting identity for the frequency spectrum of alleles that is based on size-biassing. The moment dual process in the Fleming-Viot process is the usual Lambda-coalescent tree back in time. The Wright-Fisher representation using a different set of polynomials g_n(x) as test functions produces a dual death process which has a similarity to the Kingman coalescent and decreases by units of one. The eigenvalues of the process are analogous to the Jacobi polynomials when expressed in terms of g_n(x), playing the role of x^n. E[g_n(X)] under the stationary distribution when there is mutation is analogous to the n th moment in a Beta distribution. There is a version g_n(X), when X and n are d-dimensional, and even an intriguing Ewens' sampling formula analogy when d tends to infinity.

研究の動機と目的

• $\Lambda$-Fleming-Viot過程とWright-Fisher拡散の間の関数的関係を、修正された生成作用素表現を通じて確立すること。
• Wright-Fisher型の枠組みを用いて、$\Lambda$-Fleming-Viot生成作用素の固有値および多項式固有関数の明示的表現を導出すること。
• 遺伝子選択下での固定確率を分析し、選択係数が臨界値を超えると固定が確率1で発生することを証明すること。
• $\Lambda$-Fleming-Viot過程と$\Lambda$-共重合過程の間のモーメント双対性を、高次元および無限アレル設定に拡張すること。
• サイズバイアス化された頻度スペクトルに基づき、無限アレル$\Lambda$-Fleming-Viot過程における一般化されたEwensのサンプリング公式の類似を導出すること。

提案手法

• $d$次元の$\Lambda$-Fleming-Viot生成作用素を、測度$\Lambda$から導かれる確率変数$W$を含む変換された引数上で作用するWright-Fisher生成作用素として表現する。
• 多項式テスト関数$g_n(x)$およびその多型タイプ拡張$g_{\bm{n}}(\bm{x})$を用い、$\Lambda$-共重合過程の双対となる死滅過程とのモーメント双対性を活用する。
• 双対関係$\mathbb{E}_{\bm{X}(0)=\bm{x}}[h_{\bm{n}}(\bm{X}(t))] = \mathbb{E}_{\bm{N}(0)=\bm{n}}[h_{\bm{N}(t)}(\bm{x})]$を適用して期待値と固有値を計算する。
• 静止分布のモーメントを、$\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$と選択パラメータ$\theta_i$を含む積の公式を用いて導出し、ベータ分布のモーメント類似を一般化する。
• 遷移率が$\frac{n_i}{n} \big( (n-1)\mathbb{E}[(1-W)^{n-2}] + \theta \big)$に比例する双対死滅過程を構築し、Kingmanの共重合に類似した構造を得る。
• $d \to \infty$の極限において、$\Lambda$-共重合のサイズバイアス構造を組み込んだEwensのサンプリング公式の一般化された極限形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Lambda$-Fleming-Viot生成作用素は、確率的線形引数をとる修正されたWright-Fisher生成作用素として表現可能か？
• RQ2 この表現下で、$\Lambda$-Fleming-Viot過程の固有値および多項式固有関数は何か？
• RQ3 遺伝子選択下で、$\Lambda$-Fleming-Viot過程において固定が確実に発生するのはどのような条件下か？
• RQ4 $\Lambda$-共重合過程とのモーメント双対性は、多型タイプおよび無限アレルモデルにどのように拡張可能か？
• RQ5 無限アレル$\Lambda$-Fleming-Viot過程におけるアレル頻度のサンプリング公式の極限形は何か？

主な発見

• $\Lambda$-Fleming-Viot生成作用素は、アレル頻度ベクトルの確率的線形変換上で作用するWright-Fisher生成作用素として表現可能であり、これにより固有値と固有関数の明示的計算が可能となった。
• 2次元の場合、グリーン関数に関する非線形方程式が導出され、将来的な明示的解法への道筋が示された。
• 選択係数が臨界閾値以上である場合、初期頻度が正であるかどうかにかかわらず、固定が確率1で発生することの解析的証明が与えられた。
• 静止分布のモーメント$\mathbb{E}[g_n(X)]$は、$\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$と選択パラメータ$\theta_i$を含む項の積として表現され、ベータ分布のモーメントが一般化された。
• 多型タイプの場合、モーメント母関数$\mathbb{E}[g_{\bm{n}}(\bm{X})]$は、$j=1$から$n_i$および$j=1$から$n$への積の比として与えられ、Ewensのサンプリング公式と類似した構造を示した。
• $d \to \infty$の極限において、サンプリング公式は$\mathbb{E}[(1-W)^{j-2}]$を含む一般化形式に収束し、$W \equiv 0$のとき古典的Ewensの公式に還元される。