[論文レビュー] The Langlands-Weissman Program for Brylinski-Deligne extensions

Wee Teck Gan, Fan Gao|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 60被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、再帰的群の非線形代数的被覆群であるBrylinski-Deligne（BD）被覆群へLanglandsプログラムを拡張する。Weissmanの枠組みを用いてL群の拡張を構成し、被覆トーラスの非分岐真性表現に対する局所Langlands対応を確立し、真性自動形式表現に対する自動形式的（部分的）L関数を定義する。主な貢献は、代数的起源の被覆群へのLanglands双対性の一般化のための関手的で代数的幾何学的基盤を提供することにある。

ABSTRACT

We describe an evolving and conjectural extension of the Langlands program for a class of nonlinear covering groups of algebraic origin studied by Brylinski-Deligne. In particular, we describe the construction of an L-group extension of such a covering group (over a split reductive group) due to Weissman, study some of its properties and discuss a variant of it. Using this L-group extension, we describe a local Langlands correspondence for covering (split) tori and unramified genuine representations, using work of Savin, McNamara, Weissman and W.W. Li. Finally, we define the notion of automorphic (partial) L-functions attached to genuine automorphic representations of the BD covering groups.

研究の動機と目的

• 再帰的群の非線形被覆群の文脈において、Langlandsプログラムの一般枠組みを構築すること。
• WeissmanのL群拡張を用いて、古典的L群構成をBD被覆群へ拡張し、被覆群の双対性を可能にする。
• Savin, McNamara, Weissman, およびLiの研究に基づき、被覆トーラスの非分岐真性表現に対する局所Langlands対応を確立すること。
• BD被覆群の真性自動形式表現に付随する自動形式的（部分的）L関数を定義し、研究すること。
• 被覆群の文脈における高レベルのLanglandsプログラムの目標、例えば内紹性、関手性、安定トレース公式への基盤を築くこと。

提案手法

• 強化された根データと乗法的K₂- torsorを基盤とするWeissmanの方法を用いて、BD被覆群のL群拡張を構成する。
• 根データとμₙによる中心拡張によるBD拡張の関手的分類を用いて、双対群構造を定義する。
• 非分岐真性表現の理論とSatake同型を応用し、被覆トーラスの局所Langlands対応を確立する。
• 標準的相互作用作用素とLanglands-Shahidi法を真性表現に適応し、自動形式L関数を定義する。
• W.W. Liが開発した被覆群の不変トレース公式を活用し、将来の安定性および内紹性プログラムを支援する。
• 特にWhittaker-Fourier係数とメタプレクティックCasselman-Shalika公式の文脈において、幾何的Langlands理論および量子群との類似性を考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群の非線形被覆群、特に代数的起源のものに対して、Langlandsプログラムをどのように拡張できるか。
• RQ2 Brylinski-Deligne被覆群に対して正しいL群の一般化は何か。また、その基底群の双対群とどのように関係するか。
• RQ3 被覆トーラスの非分岐真性表現に対して、局所Langlands対応を確立できるか。
• RQ4 BD被覆群の真性自動形式表現に付随する自動形式的（部分的）L関数をどのように定義し、研究できるか。
• RQ5 内紹性、関手性、安定トレース公式の理論をBD被覆群の文脈に拡張する見通しはどの程度か。

主な発見

• 論文はWeissmanの枠組みを用いてBD被覆群のL群拡張を構成し、古典的Langlands双対性を一般化する双対群を提供する。
• Savin, McNamara, Weissman, およびW.W. Liの結果を拡張し、被覆トーラスの非分岐真性表現に対する局所Langlands対応を確立する。
• BD被覆群の真性自動形式表現に付随する自動形式的（部分的）L関数を定義し、線形の場合の一般化を達成する。
• Langlands-Shahidi理論および内紹性理論が部分的に拡張されているメタプレクティック群Mp₂ₙのような既知の例と整合する。
• W.W. Liの不変トレース公式を経由して、内紹性、関手性、安定トレース公式といった高レベルのLanglandsプログラムの目標に対する基盤を提供する。
• 特にWhittaker-Fourier係数とメタプレクティックCasselman-Shalika公式を通じて、幾何的Langlands理論および量子群との関連が示唆されるが、現在の枠組みでは量子群はまだ統合されていない。