[論文レビュー] The Laplacian polynomial of graphs derived from regular graphs and applications

Jia‐Bao Liu, Xiang-Feng Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正則グラフ G の各辺と頂点を三角形に変換することで構築される新しいグラフ作用 RT(G) のラプラシアン多項式およびキルフ・インデックスの公式を導出する。スペクトルグラフ理論とシュール補行列の技術を用いて、Kf(G)、頂点数、次数を用いた Kf(RT(G)) の明示的公式とタイトな下界を確立する。主な貢献は、完全グラフ、サイクル、完全二部グラフで検証された、RT(G) のキルフ・インデックスの閉形式表現が得られたことである。

ABSTRACT

Let $R(G)$ be the graph obtained from $G$ by adding a new vertex corresponding to each edge of $G$ and by joining each new vertex to the end vertices of the corresponding edge. Let $RT(G)$ be the graph obtained from $R(G)$ by adding a new edge corresponding to every vertex of $G$, and by joining each new edge to every vertex of $G$. In this paper, we determine the Laplacian polynomials of $RT(G)$ of a regular graph $G$. Moreover, we derive formulae and lower bounds of Kirchhoff index of the graphs. Finally we also present the formulae for calculating the Kirchhoff index of some special graphs as applications, which show the correction and efficiency of the proposed results.

研究の動機と目的

• 正則グラフ G の各辺と頂点を三角形に変換する新しいグラフ作用 RT(G) を定義し、その性質を分析すること。
• スペクトルグラフ理論を用いて、正則グラフにおける RT(G) のラプラシアン多項式を決定すること。
• RT(G) のキルフ・インデックスの明示的公式および下界を導出すること。
• 完全グラフ、サイクル、完全二部グラフなどの特殊なグラフクラスにおいて結果を検証すること。

提案手法

• RT(G) を、まず R(G)（辺から三角形への変換）を適用し、その後各頂点に対して新しい辺を追加することで得られるグラフとして定義する。この新しい辺の両端点は、新しく追加された頂点と接続される。
• シュール補行列法を用いて、元の正則グラフ G のラプラシアン固有値と多項式に基づき、RT(G) のラプラシアン固有値と多項式を計算する。
• 正則グラフの既知のラプラシアンスペクトルと RT(G) の構造を活用して、L(RT(G)) の特性多項式を導出する。
• 非ゼロのラプラシアン固有値とムーア・ペンローズ逆行列のトレースを用いたキルフ・インデックスの公式を適用する。
• G と RT(G) のラプラシアン固有値の関係を活用し、Kf(RT(G)) を Kf(G)、n（頂点数）、r（次数）の関数として表現する。
• 既知の Kf(G) の下界と導出された公式を用いて、Kf(RT(G)) の下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が正則グラフであるとき、RT(G) のラプラシアン多項式は何か？
• RQ2 RT(G) のキルフ・インデックスは、元の正則グラフ G のキルフ・インデックスおよびパラメータを用いてどのように表現できるか？
• RQ3 n と r を用いて、RT(G) のキルフ・インデックスの最もタイトな下界は何か？
• RQ4 導出された公式は、Kn、Cn、Kn,n などの特定の正則グラフクラスにおいてどのように動作するか？
• RQ5 小規模なグラフにおいて抵抗距離の計算を通じて、Kf(RT(G)) の公式を独立に検証できるか？

主な発見

• n 頂点で r-正則なグラフ G に対して、RT(G) のキルフ・インデックスは Kf(RT(G)) = ((r+6)²/6)Kf(G) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n-4)n)/6 + ((r-2)(r+6)n²)/8 で与えられる。
• G ≅ K₂ の場合、公式は Kf(RT(K₂)) = 74/3 を与え、直接的な抵抗距離計算と一致する。
• G ≅ C₃ の場合、公式は Kf(RT(C₃)) = 455/6 を与え、明示的計算と整合的である。
• Kf(RT(G)) の下界は Kf(RT(G)) ≥ ((r+6)²(n²−n−r))/(6r) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8 であり、等号成立は G ≅ Kn または G ≅ Kn/2,n/2（n が偶数）のときである。
• Kn に対しては、Kf(RT(Kn)) = ((r+6)²(n−1))/6 + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8 が成り立ち、ここで r = n−1 である。
• Kn,n に対しては、Kf(RT(Kn,n)) = ((r+6)²(4n−3))/6 + (r+5)n + ((r+6)(10n−4)n)/3 + ((r−2)(r+6)n²)/2 が成り立ち、ここで r = n である。