[論文レビュー] The Lieb-Schultz-Mattis Theorem: A Topological Point of View

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2022

Quantum many-body systems被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、1次元量子スピン系に対するLieb-Schultz-Mattis (LSM)定理の現代的な位相的再定式化を提供し、U(1)または離散的 $Χ_2\timesΧ_2$ 対称性を持つ系が、整数でない充填因子をとる場合には局所的に一意なギャップのある基底状態をもてないことを証明している。この結果は、U(1)対称性に対しては充填因子インデックス、離散的対称性に対してはOgataインデックスという位相的不変量を用いて得られ、対称性保護型位相的相を理解するための統一的かつ位相的に安定な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We review the Lieb-Schultz-Mattis theorem and its variants, which are no-go theorems that state that a quantum many-body system with certain conditions cannot have a locally-unique gapped ground state. We restrict ourselves to one-dimensional quantum spin systems and discuss both the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with U(1) symmetry and the extended Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with discrete symmetry. We also discuss the implication of the same arguments to systems on the infinite cylinder, both with the periodic boundary conditions and with the spiral boundary conditions. For models with U(1) symmetry, we here present a rearranged version of the original proof of Lieb, Schultz, and Mattis based on the twist operator. As the title suggests we take a modern topological point of view and prove the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem by making use of a topological index (which coincides with the filling factor). By a topological index, we mean an index that characterizes a locally-unique gapped ground state and is invariant under continuous (or smooth) modification of the ground state. For models with discrete symmetry, we describe the basic idea of the most general proof based on the topological index introduced in the context of symmetry-protected topological phases. We start from background materials such as the classification of projective representations of the symmetry group. We also review the notion that we call a locally-unique gapped ground state of a quantum spin system on an infinite lattice and present basic theorems. This notion turns out to be natural and useful from the physicists' point of view. We have tried to make the present article readable and almost self-contained. We only assume basic knowledge about quantum spin systems.

研究の動機と目的

• U(1)対称性を持つスピン鎖系に対して、充填因子に基づく位相的インデックスを用いて一般化されたLieb-Schultz-Mattis定理を再導出すること。
• 離散的 $Χ_2\timesΧ_2$ 対称性をもつ系に対して、対称性保護型位相的相から導かれる位相的不変量であるOgataインデックスを用いてLSM定理を拡張すること。
• 局所的に一意なギャップのある基底状態という概念が、量子多体物理学において自然かつ有用であることを確立すること。
• 無限大の円筒上やスパイラル境界条件をもつ系へとLSM型定理を一般化し、幾何的および位相的変化に対してその堅牢性を示すこと。
• 元の変分的証明と現代的な位相的場理論およびインデックス理論を結びつける、自己完結的でアクセス可能なレビューを提示すること。

提案手法

• ねじれ作用素を用いて元のLSM証明を再定式化し、境界条件がねじれた試行状態のエネルギーが基底状態エネルギーに近いことを示す変分的エネルギー推定を導出する。
• 充填因子を、局所的に一意なギャップのある基底状態を特徴づける位相的不変量として導入し、ハミルトニアンの連続的変形に対して不変であることを示す。
• 対称性群の射影表現から導かれる位相的不変量であるOgataインデックスを導入し、離散的対称性をもつギャップのある相を分類する。
• GNS構成とスペクトルギャップ推定を用いて、基底状態の非 degeneracy と基底状態エネルギーの上にギャップが存在することを証明する。
• 周期的およびスパイラル境界条件をもつ無限大の円筒上での系を分析し、これらの境界条件でも位相的障害が維持されることを示す。
• スペクトルギャップと状態の純粋性に基づく背理法を用いて、位相的インデックスと局所的に一意なギャップのある基底状態の不在の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(1)対称性を持つスピン鎖系に対する一般化されたLieb-Schultz-Mattis定理は、変分的議論の代わりに位相的インデックスを用いて再証明可能か？
• RQ2 離散的 $Χ_2\timesΧ_2$ 対称性をもつ系において、局所的に一意なギャップのある基底状態の存在を妨げる障害を特徴づける位相的不変量は何か？
• RQ3 LSM型定理は、周期的およびスパイラル境界条件をもつ無限大の円筒上の量子スピン系へとどのように拡張されるか？
• RQ4 充填因子が、ギャップがあり局所的に一意な基底状態が存在するかを決定する位相的インデックスとして果たす役割は何か？
• RQ5 Ogataインデックスは、1次元スピン系における対称性保護型位相的相の分類とどのように関係するか？

主な発見

• 充填因子（単位セルあたりの平均スピン）は、U(1)対称性を持つ系で局所的に一意なギャップのある基底状態が存在するためには整数でなければならない、という位相的インデックスとして機能する。
• 離散的 $Χ_2\timesΧ_2$ 対称性をもつ系では、局所的に一意なギャップのある基底状態が存在するためには、群の射影表現から導かれるOgataインデックスが消える必要がある。
• スピン $S=1/2$ の反強磁性ヘイゼンベルグ鎖に対する元のLSM定理は、充填因子が $1/2$（整数でない）である特殊ケースとして回復され、局所的に一意なギャップのある基底状態の存在が禁じられる。
• ねじれ試行状態 $| ilde{Ψ} angle = \hat{U}_{\rm twist}|Φ_{\rm GS}\rangle$ のエネルギーは、$E_{\rm GS} + \mathcal{O}(1/L)$ で上から抑えられ、基底状態とほぼ簡併していることが示される。
• 無限大の円筒上では、周期的およびスパイラル境界条件の両方でLSM型定理が成り立つため、境界条件の変更に対しても位相的障害の堅牢性が示される。
• GNSハミルトニアン $H_{\rm GNS}$ はエネルギー0に非簡併な基底状態を持ち、スペクトルギャップが少なくとも $\gamma$ 以上であるため、基底状態は純粋であり、ギャップのある簡併基底状態をもつことはギャップ条件に反する。