[論文レビュー] The liftable mapping class group of balanced superelliptic covers

Tyrone Ghaswala, Rebecca R. Winarski|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、球面の巡回分岐被覆から生じる、穴あき球面の写像類群の有限指数部分群であるバランスド・スーパーイクリプティック被覆の持ち上げ可能な写像類群を調査する。バランスド・スーパーイクリプティック写像類群の構造を分析することで、そのアーベル化を計算し、種数が奇数のときは有限で、偶数のときは無限であることを示し、持ち上げ可能な写像類群が被覆次数に依存しないことを証明し、ハイパーエリプティックの場合の結果を一般化するための基盤を提供する。

ABSTRACT

The hyperelliptic mapping class group has been studied in various contexts within topology and algebraic geometry. What makes this study tractable is that there is a surjective map from the hyperelliptic mapping class group to a mapping class group of a punctured sphere. The more general family of superelliptic mapping class groups does not, in general, surject on to a mapping class group of a punctured sphere, but on to a finite index subgroup. We call this finite index subgroup the liftable mapping class group. In order to initiate the generalization of results on the hyperelliptic mapping class group to the broader family of superelliptic mapping class groups, we study an intermediate family called the balanced superelliptic mapping class group. We compute the index of the liftable mapping class group in the full mapping class group of the sphere and show that the liftable mapping class group is independent of the degree of the cover. We also build a presentation for the liftable mapping class group, compute its abelianization, and show that the balanced superelliptic mapping class group has finite abelianization. Although our calculations focus on the subfamily of balanced superelliptic mapping class groups, our techniques can be extended to any superelliptic mapping class group, even those not within the balanced family.

研究の動機と目的

• ハイパーエリプティック写像類群の結果を、より広いスーパーイクリプティック写像類群の族へ一般化すること。
• 穴あき球面の写像類群の有限指数部分群としての持ち上げ可能な写像類群を定義し、その性質を研究すること。
• バランスド・スーパーイクリプティック被覆における持ち上げ可能な写像類群のアーベル化を計算すること。
• 持ち上げ可能な写像類群のための提示を確立し、その代数的構造を分析すること。
• 持ち上げ可能な写像類群が被覆次数に依存しないことを示し、技術の広範な適用を可能にすること。

提案手法

• 著者たちは、方程式 $ y^k = (x-a_1)(x-a_2)^{k-1} \cdots (x-a_n)^{k-1}(x-a_{n+1}) $ を用いてバランスド・スーパーイクリプティック被覆を定義し、球面の巡回分岐被覆をモデル化する。
• ガロア対応を用いて、被覆空間を全射準同型 $ \phi: \pi_1(\mathbb{P}^1 \setminus \mathcal{B}) \to \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} $ と関連づけ、$ \phi(\gamma_i) \equiv d_i \mod k $ とする。
• 持ち上げ可能な写像類群 $ \operatorname{LMod}_{g,k}(\Sigma_0, \mathcal{B}) $ は、商写像による対称写像類群の像として特定される。
• バターン関係、共役関係、パリティ反転対称性を用いて、持ち上げ可能な写像類群の提示を構成する。
• アーベル化は、提示行列のスミス標準形を用いて計算され、$ H_1(\operatorname{LMod}_{g,k}; \mathbb{Z}) $ の構造が明らかになる。
• 著者たちは、アーベル化函手の右完全性を適用し、対称写像類群のアーベル化と持ち上げ可能な群のアーベル化との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスド・スーパーイクリプティック被覆における持ち上げ可能な写像類群の構造は何か？ また、穴あき球面の写像類群全体とはどのように関係しているか？
• RQ2 持ち上げ可能な写像類群は被覆次数 $ k $ に依存しないのか？ もしそうならば、その理由は何か？
• RQ3 持ち上げ可能な写像類群のアーベル化は何か？ また、被覆面の種数に応じてどのように変化するか？
• RQ4 バターン関係および共役関係を用いて、持ち上げ可能な写像類群の有限提示を構成できるか？
• RQ5 持ち上げ可能な写像類群の第一ベッチ数はどのように振る舞い、これは対称写像類群の構造に何を示唆するか？

主な発見

• 持ち上げ可能な写像類群 $ \operatorname{LMod}_{g,k}(\Sigma_0, \mathcal{B}) $ は被覆次数 $ k $ に依存しない。これは重要な構造的洞察である。
• $ n $ が奇数のとき、アーベル化 $ H_1(\operatorname{LMod}_{g,k}; \mathbb{Z}) $ は $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ に同型であり、$ n $ が偶数のときは $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $ に同型である。
• 持ち上げ可能な写像類群 $ \operatorname{LMod}_{g,k}(\Sigma_0, \mathcal{B}) $ の第一ベッチ数は 1 であり、群は非巡回的であるため、偶数の場合にはアーベル化が無限大である。
• 持ち上げ可能な写像類群の提示は、バターン関係、共役対称性、パリティ反転関係から導かれる。生成集合は有限である。
• 対称写像類群 $ \operatorname{SMod}_{g,k}(\Sigma_g) $ のアーベル化は無限大であり、非巡回的である。これは、有限核をもつ $ H_1(\operatorname{LMod}_{g,k}; \mathbb{Z}) $ への自然な全射があるためである。
• 提示行列のスミス標準形により、アーベル化のねじれ部と自由部の構造が確認され、$ n $ の偶奇に応じて異なる構造を示す。