[論文レビュー] The local description of the Ricci and Bianchi identities for an h-normal N-linear connection on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M)

Alexandru Oană, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双対1次ジャケット空間 $J^{1*}(\tau, M)$ 上の $h$-正規 $N$-線形接続に対して、リッチおよびバイアッヒ恒等式の完全な局所的記述を提供し、ねじれおよび曲率の $d$-テンソル成分の明示的表現を導出し、30個の異なるバイアッヒ型恒等式を通じてそれらの幾何的関係を確立する。結果として、古典的リッチおよびバイアッヒ恒等式が、マルチタイム・マルチパラメータのハミルトニアン幾何的枠組みへ一般化され、古典的リーマン＝ハミルトニアン幾何が多様体のジャケット空間への拡張として成立する。

ABSTRACT

In this paper we describe the local Ricci and Bianchi identities for an h-normal N-linear connection DΓ(N) on the dual 1-jet space J^{1*}(T,M). To reach this aim, we firstly give the expressions of the local distinguished (d-) adapted components of torsion and curvature tensors produced by DΓ(N), and then we analyze their attached local Ricci identities. The derived deflection d-tensor identities are also presented. Finally, we expose the local expressions of the Bianchi identities (in the particular case of an h-normal N-linear connection of Cartan type), which geometrically connect the local torsion and curvature d-tensors of the linear connection DΓ(N).

研究の動機と目的

• 双対1次ジャケット空間 $J^{1*}(\tau, M)$ 上の $h$-正規 $N$-線形接続のための局所的微分幾何的枠組みを構築すること。これは、共変ハミルトニアン場理論の自然な設定を提供する。
• リーマン幾何およびハミルトニアン幾何における古典的リッチおよびバイアッヒ恒等式を、双対1次ジャケット空間のマルチタイム・マルチパラメータ設定に一般化すること。
• $h$-正規 $N$-線形接続（カルタン型）の文脈において、ねじれ、曲率、および偏光 $d$-テンソルの幾何的関係を確立すること。
• コットangent bundle上でのハミルトニアン幾何における古典的11個のバイアッヒ恒等式を統合・拡張する30個の局所的バイアッヒ恒等式の体系的導出を提供すること。

提案手法

• 座標変換則を用いて、$J^{1*}(\mathcal{T}, M)$ 上の $h$-正規 $N$-線形接続 $D\Gamma(N)$ に関連するねじれおよび曲率テンソルの局所的区別的（$d$-）成分を導出する。
• 時間的および空間的成分 $\underset{1}{N}^{(a)}_{(i)b}$ および $\underset{2}{N}^{(a)}_{(i)j}$ を有する非線形接続 $N$ を用いて、双対1次ジャケット bundle 上の $d$-接続構造を定義する。
• 適応接続係数およびその偏微分を用いて $d$-ねじれおよび $d$-曲率成分を計算し、全般にアインシュタインの和の規則を適用する。
• 曲率およびねじれ成分に対して巡回的および反対称的和（$\sum_{\{A,B,C\}}$, $\mathcal{A}_{\{A,B\}}$）を適用し、バイアッヒ型恒等式を導出する。
• 単一時間極限（$\mathcal{T} = \mathbb{R}$, $h = \delta = 1$）において、導出された恒等式がコットangent bundle上での古典的11個のバイアッヒ恒等式に還元されることを確認する。
• 偏光 $d$-テンソルの恒等式を用いて、曲率およびねじれ関係の整合性を保証するための幾何的制約系を閉じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対1次ジャケット空間 $J^{1*}(\mathcal{T}, M)$ 上の $h$-正規 $N$-線形接続に対して、リッチ恒等式をどのように局所的に記述できるか？
• RQ2 双対1次ジャケット空間上での $h$-正規 $N$-線形接続（カルタン型）の文脈において、ねじれおよび曲率の $d$-テンソルの明示的局所的表現は何か？
• RQ3 バイアッヒ恒等式はどのように $d$-接続構造から導かれるのか。また、マルチタイムハミルトニアン場理論における幾何的意義は何か？
• RQ4 この枠組みにおいて、偏光 $d$-テンソルと曲率・ねじれ $d$-テンソルの関係は何か？
• RQ5 導出されたバイアッヒ恒等式は、単一時間極限においてどのように古典的恒等式に還元されるか？

主な発見

• 本稿では、$J^{1*}(\mathcal{T}, M)$ 上の $h$-正規 $N$-線形接続 $D\Gamma(N)$ の $d$-ねじれおよび $d$-曲率成分を幾何的に関連付ける30個の異なる局所的バイアッヒ恒等式を導出している。これらは10セットにグループ化されている。
• 恒等式は、$\{a, i, {}_{(i)}^{(a)}\}$ 型のインデックスに対する巡回的および反対称的和を用いて表現されており、曲率およびねじれ $d$-テンソルの完全な幾何的整合性を保証している。
• 単一時間極限（$\mathcal{T} = \mathbb{R}$, $h = \delta = 1$）において、各セットの最後の恒等式は、コットangent bundle上でのハミルトニアン幾何における古典的11個のバイアッヒ恒等式の1つに還元され、従来の理論と整合していることが確認された。
• 偏光 $d$-テンソルの恒等式は明示的に導出され、曲率およびねじれの制約系を閉じるために不可欠であることが示された。
• 曲率およびねじれ $d$-テンソルは、すべての局所的成分 $P_{(l)a(b)}^{(d)\;(j)}$, $S_{(l)(a)(b)}^{(d)(i)(j)}$, および $R_{(l)ab}^{(d)}$ によって完全に特徴づけられており、すべての幾何的恒等式がこれらの成分で表現されている。
• 導出された恒等式には、対称的および反対称的制約が含まれており、たとえば $\sum_{\{a,b,c\}} \chi_{eab/c}^{d} = 0$ や $\mathcal{A}_{\{a,b\}}\{R_{pak/b}^{l} + \cdots \} = R_{pab|k}^{l} + \cdots$ のような形で表され、接続構造の積分可能性を保証している。