[論文レビュー] The Local Hamiltonian problem on a line with eight states is QMA-complete

Sean Hallgren, Daniel Nagaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、1次元局所ハミルトニアン問題が8状態のクーディットに制限されてもQMA完全のままであることを証明している。これは、以前の13状態の上限を低下させたものである。著者らは、歴史状態符号化を用いた量子検証回路を構築し、局所的ハミルトニアンを巧みに設計した摂動的ガジェット構成を用いて、8準位のクーディットのみを用いた1次元鎖上でQMA完全問題をシミュレートした。これにより、低次元の空間的局所的設定ですら計算的困難性が保たれることを示した。

ABSTRACT

The Local Hamiltonian problem is the problem of estimating the least eigenvalue of a local Hamiltonian, and is complete for the class QMA. The 1D problem on a chain of qubits has heuristics which work well, while the 13-state qudit case has been shown to be QMA-complete. We show that this problem remains QMA-complete when the dimensionality of the qudits is brought down to 8.

研究の動機と目的

• 1次元におけるQMA完全性の既知の結果と、低次元量子系の物理的実現可能性との間のギャップを埋めることを目的とし、1次元でQMA完全性を達成するために必要なクーディット状態数を削減すること。
• クーディットの状態数を8に制限しても、1次元局所ハミルトニアン問題の計算的困難性が保たれることを示すこと。これは、以前の13状態の上限を改善するものである。
• 1次元鎖上に、8準位のクーディットのみを用いて、物理的に現実的かつ空間的に局所的なハミルトニアンを構築し、QMA完全問題を符号化すること。
• 長距離相互作用が存在しない状況でも、クーディットの次元数を最小限に抑えた状態でも、困難性が継続することを示すこと。これは、実験的量子シミュレーションにとって関連性がある。

提案手法

• Kitaevの歴史状態構成を用いて、量子検証回路を8状態クーディットからなる1次元鎖に埋め込み、計算を時間発展状態の重ね合わせとして符号化する。
• 局所的ハミルトニアンを用いた摂動的ガジェット構成を設計し、正しい時間発展を強制し、不正な状態をエネルギー差で罰する。
• 任意の不正な状態（局所的に検出できないものも含む）が多項式時間内に局所的に検出可能な状態に変化する遷移系を実装し、エネルギー罰則が有効であることを保証する。
• 射影補題を適用して、異なるタイプの状態（有効な状態、局所的に検出可能な不正な状態、検出不能な不正な状態）に対応する部分空間を分析し、全ハミルトニアンの基底状態エネルギーを制限する。
• 境界条件を適切に設定した直線上の量子ウォークハミルトニアンを用いて、検出不能な不正な状態部分空間における最小固有値を評価し、それがO(1/poly(n))に比例することを示す。
• 結合強度（J_propおよびJ_pen）をnの多項式関数として設定することで、全体のエネルギー差が0から離れたまま保たれ、QMA完全性が維持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーディットの次元数を8に制限した1次元局所ハミルトニアン問題において、最近接相互作用のもとでQMA完全性が成立するか？
• RQ2 8準位のクーディットからなる1次元鎖上で、局所的相互作用と空間的制限付きアーキテクチャを用いてQMA完全問題を符号化できるか？
• RQ3 クーディット状態数を最小限に抑えた状態でも、1次元局所ハミルトニアン問題のQMA完全性は維持されるか？
• RQ4 1次元量子系における局所的に検出不能な不正な状態は、局所的ルールに従って体系的に検出可能な状態に進化させられるか？これにより、エネルギー罰則が有効に機能するか？

主な発見

• 8状態クーディットを用いた1次元局所ハミルトニアン問題はQMA完全であり、以前の13状態の上限を低下させた。
• 本構成は、8準位クーディットを用いた1次元鎖上で、歴史状態を介したユニバーサル量子計算をシミュレートする摂動的ガジェット手法を用いている。
• 局所的に検出できない不正な状態を含む、すべての不正な状態が多項式時間内に局所的に罰せられる状態に変化し、有効なエネルギー差が保証される。
• 検出不能な不正な状態部分空間における最小固有値はO(1/poly(n))で抑えられ、適切な結合強度を選べば無視できるほど小さくできる。
• 全ハミルトニアンの基底状態エネルギーは、yesインスタンスではしきい値a未満、noインスタンスでは少なくとも1/poly(n)以上となり、プロミスギャップが保たれる。