[論文レビュー] The local Langlands conjecture for the $p$-adic inner form of Sp(4)

Kwangho Choiy|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

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ひとこと要約

本論文は、$\mathrm{GSp}_{1,1}$ におけるLLCと双対群とのtheta対応を用いて、$\mathrm{Sp}_4$ の非準投影的 $p$-進内形式 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ における局所Langlands予想を、$\mathrm{GSp}_{1,1}$ からの$L$-パックェットの制限によって証明する。主な結果として、$\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェットと中心的特徴を指定した$S$-群の無限可約表現との間の自然な同一視が確立され、この非分裂形式における$L$-パックェットのパrameterizationが解決される。

ABSTRACT

This paper proves the local Langlands conjecture for the non quasi-split inner form Sp(1,1) of Sp(4) over a p-adic field of characteristic 0, by studying the restriction of representations from the non quasi-split inner form GSp(1,1) of GSp(4) to Sp(1,1). The L-packets for Sp(1,1) are constructed based on the earlier work on the local Langlands correspondence for GSp(1,1) by Gan and Tantono. To parameterize them in terms of so-called S-groups, we establish and utilize the local Langlands correspondence for reductive dual groups which participate in the theta correspondence with Sp(1,1) and GSp(1,1). An interesting phenomenon arises when two distinct members in an L-packet of GSp(1,1) are restricted to Sp(1,1).

研究の動機と目的

• 0の特徴を持つ$ p $-進体上の$\mathrm{Sp}_4$ の非準投影的内形式$\mathrm{Sp}_{1,1}$ における局所Langlands対応（LLC）を確立すること。
• $\mathrm{GSp}_{1,1}$ からの$L$-パックェットの制限を用いて、GanとTantonoの先行研究に基づき、$\mathrm{Sp}_{1,1}$ における$L$-パックェットを構成すること。
• $S$-群の構成とKottwitz同型および中心的特徴データを組み合わせることで、$\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェットをパrameter化すること。
• $\mathrm{GSp}_{1,1}$ の異なる$L$-パックェットが$\mathrm{Sp}_{1,1}$ に制限されたときの挙動を分析することにより、$\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェットの構造を解明すること。

提案手法

• $\mathrm{GSp}_{1,1}$ からの$L$-パックェットの制限を用い、$\mathrm{GSp}_{1,1}$ 内の異なる$L$-パックェットが$\mathrm{Sp}_{1,1}$ に写して異なる像をもたらすという事実を活用する。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ および $\mathrm{GSp}_{1,1}$ とtheta対応をなす双対群 $\mathrm{SO}_{2,2}$ と $\mathrm{SO}_{3,3}$ における局所Langlands対応の利用。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}$ と $\mathrm{SO}^{*}_{1,1}$ の$\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}}$ における$S$-群 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$ と $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$ 間の自然な同型を確立し、表現データの転送を可能にする。
• $F$-内形式の双対群、特に $\mathrm{SO}_{2,2}$ と $\mathrm{SO}_{4,0}$ に対して、中心的特徴 $\zeta_G$ を $F$-内形式に結びつけるKottwitz同型の適用。
• $\mathrm{SO}_{2,2}$ と $\mathrm{SO}_{4,0}$ の表現を $\mathrm{GSp}_{1,1}$-データを介して $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の表現に結びつけるJacquet-Langlands対応の利用。
• $S$-群の構造とその無限可約表現に関する場合分けによる主定理の証明を行い、$\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1}) \cong \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非準投影的内形式 $\mathrm{Sp}_4$ の例として $\mathrm{Sp}_{1,1}$ を含む、局所Langlands対応をどのように非準投影的内形式へ拡張できるか。
• RQ2 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ の$L$-パックェットが $\mathrm{Sp}_{1,1}$ に制限されたとき、その挙動は $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェット構造にどのように影響するか。
• RQ3 $S$-群による$L$-パックェットのパrameterizationを、特に$S$-群が可換でない非準投影的群にどのように適応できるか。
• RQ4 双対群 $\mathrm{SO}_{2,2}$ と $\mathrm{SO}_{3,3}$ とのtheta対応が、$\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェット構成に果たす役割は何か。
• RQ5 $S$-群構成における中心的特徴 $\zeta_G$ は、双対群の $F$-内形式とどのように関係しているか。

主な発見

• 0の特徴を持つ$ p $-進体上での非準投影的内形式 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ における局所Langlands対応が完全に確立された。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェットは、$\mathrm{GSp}_{1,1}$ からの$L$-パックェットの制限によって構成され、$\mathrm{GSp}_{1,1}$ 内の異なる$L$-パックェットは$\mathrm{Sp}_{1,1}$ に写して異なる像をもたらす。
• $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$ と $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$ は同型であり、双対群からの表現データの転送が可能である。
• $L$-パックェット $\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1})$ は、$\mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$ と自然な同一視がある。ここで $\zeta_G$ はKottwitz同型により定まり、$\mathrm{SO}_{2,2}$ または $\mathrm{SO}_{4,0}$ に対応する。
• 証明はtheta対応とJacquet-Langlands対応を用い、$\mathrm{SO}_{2,2}$ と $\mathrm{SO}_{4,0}$ の表現を $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の表現に結びつける。$\mathrm{GSp}_{1,1}$-データを介した明示的同一視が確立された。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ の$L$-パックェットの構造は完全に記述されており、$S$-群はすべての場合で基本的2群である。パrameterizationは$\gamma$-因子および$L$-因子と整合的である。