[論文レビュー] The local principle of large deviations for compound Poisson process with catastrophes

A. V. Logachov, O. Logachova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、線形増加と崩壊を伴う連続時間マーカフ過程の局所大偏差原理（LLDP）を確立する。崩壊はポアソン過程として発生し、人口のランダムな割合を消失させる。主な貢献は、ジャンプサイズ分布および崩壊強度に関する一般な条件下で、過程の最大値に対する厳密な漸近的上界の導出と、LLDPの証明である。

ABSTRACT

The continuous time Markov process considered in this paper belongs to a class of population models with linear growth and catastrophes. There, the catastrophes happen at the arrival times of a Poisson process, and at each catastrophe time, a randomly selected portion of the population is eliminated. For this population process, we derive an asymptotic upper bound for the maximum value and prove the local large deviation principle.

研究の動機と目的

• 線形出生とポアソン駆動の崩壊を伴う人口過程の大偏差行動を分析すること。
• 人口サイズにおける大きな逸脱を伴う稀な事象を特徴付ける、局所大偏差原理（LLDP）を確立すること。
• 有限時間区間における過程の最大値に対する漸近的上界を導出すること。
• 特に人口モデルの文脈において、ランダムなリセットと崩壊を伴う過程への大偏差理論の枠組みを拡張すること。
• 大偏差技術を用いて、ランダムな破壊的イベント下での人口生存の最適戦略を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• 人口過程を、線形のドリフトと、崩壊を表すポアソン到着時刻におけるジャンプを持つ連続時間マーカフ過程としてモデル化する。
• 各崩壊時における人口の減少割合を表すランダムなジャンプサイズを有する複合ポアソン過程として過程を定義する。
• 崩壊回数および崩壊前の人口サイズに条件づけて、経路行動を分析するための条件付き議論を用いる。
• 指数的チーミングおよび稀な事象に条件づける手法を用い、大偏差の確率に対する上界を導出する。
• 経路の挙動を制御するために、$ A_k $, $ B_k $, $ G_{k_l} $, および $ H_{k_l} $ などの補助事象を導入する。
• ジャンプサイズ分布が崩壊前の状態から独立であり、かつジャンプサイズに一様性の仮定が成り立つことを利用して、遷移確率の上界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限時間区間における崩壊を伴う複合ポアソン過程の最大人口サイズの漸近的挙動は何か？
• RQ2 ランダムなジャンプとリセットイベントを伴う過程に対して、局所大偏差原理を厳密に確立する方法は何か？
• RQ3 人口サイズが通常の経路から著しく逸脱するような稀な事象の確率を支配するレート関数は何か？
• RQ4 崩壊の強度とジャンプサイズの分布は、極端な人口値の発生確率にどのように影響するか？
• RQ5 すべての時間区間に対して一様に成り立つ、過程の最大値に対する上界を導出可能か？

主な発見

• 有限時間区間における過程の最大値に対する漸近的上界が導出され、極端な値が指数的に起こりにくくなることが示された。
• 過程に対して局所大偏差原理（LLDP）が証明され、稀な事象の確率の減衰率を特徴付けるレート関数が確立された。
• ジャンプサイズ分布が一様性条件を満たすと仮定した下で、最大値に対する上界が時間とともに指数的に減少することが示された。
• 大きな値 $ g^* $ をとる経路が観測される確率は、$ \varepsilon^3 $, $ \Delta $, および崩壊回数を含む式によって上界で抑えられ、指数的減衰が示された。
• 崩壊回数に条件づけ、絶滅を避けるが同時に高い人口レベルに達する経路の可能性を制限することで、証明が成り立っている。
• しきい値未満に低下しないまま複数の崩壊を生き延がれる条件付き確率の上界は、イベント数とともに指数的に減少することが示され、このような極端な経路の稀さが確認された。