[論文レビュー] The local theta correspondence and the local Gan-Gross-Prasad conjecture for the symplectic-metaplectic case

Hiraku Atobe|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、特徴値がゼロである非アーチメデス的局所体上での、正則化されたシンプレクティック-メタプレクティックの場合の局所 Gan-Gross-Prasad 猜想を証明し、局所 Langlands 対応とシータ対応を用いて、特定のホモロジー空間の非消滅性を確立する。主な結果は、温度的 L-パrameterの仮定の下で、古典的群に対する GGP 猜想の最後の未解決事例を完全に解決することを確認する。

ABSTRACT

We prove the local Gan-Gross-Prasad conjecture for the symplectic-metaplectic case under some assumptions. This is the last case of the local Gan-Gross-Prasad conjectures. We also prove two of Prasad's conjectures on the local theta correspondence in the almost equal rank case.

研究の動機と目的

• 未解決のまま残っていたシンプレクティック-メタプレクティックの場合を解決することで、古典的群に対する局所 Gan-Gross-Prasad 猜想の完全な証明を達成すること。
• 局所 Langlands 対応とシータ対応を用いて、GGP 猜想のフーリエ・ジャコビ系におけるホモロジー空間の非消滅基準を確立すること。
• メタプレクティック群のほぼ等価ランクの場合における、Prasad の局所シータ対応に関する2つの予想を証明すること。
• シータ対応を用いて、Vogan L-パケッジの枠組みを、メタプレクティック群の真の表現を含むように拡張すること。

提案手法

• 準分裂シンプレクティック群および特殊直交群の局所 Langlands 対応を用い、Arthur の安定化結果がパrametrization の基盤をなす。
• \widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n}) と \mathrm{SO}(V_{2n+1}) 間のシータ対応を適用し、\mathrm{SO}(V_{2n+1}) の L-パrameter を用いて、メタプレクティック群の真の表現をパラメトライズする。
• Vogan L-パケッジ枠組みを用い、群 G 及びその純粋内型の既約表現を L-パラメータ \phi に結びつける。ここで、写像 \iota_{\mathfrak{w}}: \Pi_\phi \to \mathrm{Irr}(\pi_0(S_\phi)) が一対一対応を定める。
• Weil 表現のジャコビモジュールの Kudla のフィルトレーションを用いて、標準的モジュールの構造とそのシータ上昇を分析する。
• 誘導関手の完全性と帰納法を用い、標準的モジュールのラングランズ商が非消滅条件の下で、ある表現のシータ上昇と同型であることを示す。
• シータ上昇の単射性と標準的モジュールの既約性（[35] および [6] より）を用いて、シータ上昇が非ゼロのとき、標準的モジュールが既約であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 \mathrm{Hom}_{\Delta\widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n})}(\pi \otimes \overline{\omega_\psi}, \mathbb{C}) のホモロジー空間が、\widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n}) \times \mathrm{Sp}(W_{2n}) の既約真の表現 \pi に対して、どのような条件下で消滅するか、または非消滅するか。
• RQ2 局所 Langlands 対応とシータ対応を用いて、シンプレクティック-メタプレクティックの場合の局所 Gan-Gross-Prasad 猜想をどのように定式化し、証明できるか。
• RQ3 メタプレクティック表現の標準的モジュールが、特殊直交群へのシータ上昇が非ゼロである場合に、いつ既約になるか。
• RQ4 標準的モジュールのラングランズ商が、元の表現のシータ上昇と同型であるための条件は何か。

主な発見

• 温度的 L-パラメータの仮定の下で、シンプレクティック-メタプレクティックの場合の局所 Gan-Gross-Prasad 猜想が証明された。
• 一般性のある L-パラメータに対応する標準的モジュール \widetilde{\pi} は、そのシータ上昇 \theta_\psi(\widetilde{\pi}) が非ゼロであれば既約である。
• 標準的モジュール \widetilde{\pi} のラングランズ商 \widetilde{\pi}_1 のシータ上昇 \theta_\psi(\widetilde{\pi}_1) は、標準的モジュール \mathrm{Ind}_{P^\circ}^{\mathrm{SO}(V_{2n+1}^\bullet)}(\tau_1^\vee|\det|_F^{-s_1} \boxtimes \cdots \boxtimes \theta_\psi(\widetilde{\pi}_0)) と同型である。
• 右辺の誘導表現の既約性（[35, Théorème (i)] で確立）から、標準的モジュールの既約性が従う。
• シータ対応の単射性より、\widetilde{\pi}_1 は \widetilde{\pi} のラングランズ商でなければならない。ラングランズ商は重複度1で現れるため、\widetilde{\pi} は既約である。
• 証明により、メタプレクティック群に対する、Prasad の局所シータ対応に関する2つの予想が確認された。