[論文レビュー] The local universes model: an overlooked coherence construction for dependent type theories

Peter LeFanu Lumsdaine, Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、局所的ユニバースモデルを用いて、従属型理論における整合性構成を新たに提示する。弱く安定な理解カテゴリを、スプリット置換を介して厳密に安定なものに変換することで、代入の厳密なファンクター性と、従属積、和、同一型といった論理的構造の保存を確立する。この手法は、ヴォエバドスキーの単体的モデルを含むホモトピー論的モデルに適用可能である。

ABSTRACT

We present a new coherence theorem for comprehension categories, providing strict models of dependent type theory with all standard constructors, including dependent products, dependent sums, identity types, and other inductive types. Precisely, we take as input a "weak model": a comprehension category, equipped with structure corresponding to the desired logical constructions. We assume throughout that the base category is close to locally Cartesian closed: specifically, that products and certain exponentials exist. Beyond this, we require only that the logical structure should be *weakly stable* --- a pure existence statement, not involving any specific choice of structure, weaker than standard categorical Beck--Chevalley conditions, and holding in the now standard homotopy-theoretic models of type theory. Given such a comprehension category, we construct an equivalent split one, whose logical structure is strictly stable under reindexing. This yields an interpretation of type theory with the chosen constructors. The model is adapted from Voevodsky's use of universes for coherence, and at the level of fibrations is a classical construction of Giraud. It may be viewed in terms of local universes or delayed substitutions.

研究の動機と目的

• 再インデックス化の下で代入と論理的構造が厳密に安定である必要がある、従属型理論のカテゴリカルモデルにおける整合性問題を解決すること。
• 最小限のカテゴリカルな条件を満たす弱く安定な理解カテゴリを、厳密に安定なスプリットモデルに変換する一般化された構成を提供すること。
• 従来の整合性結果が失敗する、ヴォエバドスキーの単体的モデルを含むホモトピー論的モデルへの適用を拡張すること。
• 整合性のためのユニバースの使用を、それ自身が型理論的ユニバースとしての役割とは分離することにより、ユニバースフリーな整合性構成を可能にすること。
• 既存のモデルと相性が良く、引き戻しの下で型理論的構造が厳密に保存される、カテゴリカルな枠組みを提供すること。

提案手法

• 与えられた理解カテゴリ $\mathcal{C}$ から、局所的ユニバース構成を用いてスプリット理解カテゴリ $\mathcal{C}_{!}$ を構成する。
• ギラウドの古典的構成のファイブレーション版を用い、ユニバースをモデル内で内部化する方法として局所的ユニバースを定義する。
• スプリット構造を活用することで、論理的構造（例えば、従属積、和、同一型）が再インデックス化の下で厳密に保存されることを保証する。
• 遅延代入技術を用いて代入ファンクターの整合性を管理し、引き戻し後のオブジェクトが厳密に等しくなるようにする。
• ベーシスカテゴリにおける積と特定の指数関数の存在を仮定するのみで、ベック＝シェヴァリー条件より弱い弱い安定性条件を入力とすることで、より弱い前提で構成を可能にする。
• 得られたモデルが、代入の厳密なファンクター性と論理的コンストラクターの厳密な保存性を満たすことを検証する。これはホモトピー論的設定においても成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インテンショナル型理論のホモトピー論的モデル、例えばヴォエバドスキーの単体的モデルに適用可能な、整合性構成を開発できるか？
• RQ2 整合性のためのユニバースの使用を、それ自身が内部型理論的ユニバースとしての役割とは分離することは可能か？
• RQ3 理解カテゴリに対して、従属型理論の厳密に安定なモデルの存在を保証するための最小限のカテゴリカルな条件は何か？
• RQ4 弱く安定な論理的構造を、すべての標準的型コンストラクターを保存する形で、体系的に厳密安定性へと昇格することは可能か？
• RQ5 局所的ユニバースモデルを、完全な型理論的ユニバースを仮定しない状況でも、整合性を達成できるように適応可能か？

主な発見

• 局所的ユニバースモデルは、再インデックス化に関して弱く安定で、積と特定の指数関数を備えた任意の理解カテゴリから、厳密に安定なスプリット理解カテゴリを構成する。
• この構成により、代入が厳密にファンクター的であり、従属積、和、同一型、およびその他の帰納的型を含むすべての論理的構造が再インデックス化の下で厳密に保存されることを保証する。
• この手法は、ヴォエバドスキーの単体的モデルを含む広範なホモトピー論的モデルに適用可能であり、これに対しては従来の整合性定理（例えば、ホフマンのもの）は適用できない。
• モデルは論理的モデル圏と互換性があり、特にコフェイブルが引き戻しに対して安定な任意のモデル圏においても構成が成立する。
• このアプローチはさまざまな弱いファクタリゼーション系へ一般化可能であり、小さな圏や逆圏上の図式圏に対しても適用可能で、存在する場合にはユニバーシャル性を保存する。
• ユニバースが型理論的ユニバースとしての役割とは独立して、純粋に整合性の目的にのみ使用可能であることが、この構成によって示された。これにより、特定の状況下でユニバースフリーな整合性が可能になる。