[論文レビュー] THE SIMPLICIAL MODEL OF UNIVALENT FOUNDATIONS

Krzysztof Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 76

ひとこと要約

この論文は、新しいユニバースに基づく整合性技術を用いて、単体的集合の圏において、ユニバーサル基礎のモデルを構築する。弱く普遍的なカーン被覆が確立され、このモデルにおいてユニバーサル性公理が成り立つことが証明され、ユニバーサル基礎が2つの不動点を持つZFCに関して一貫していることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we construct and investigate a model of the Univalent Foundations of Mathematics in the category of simplicial sets. To this end, we rst give a new technique for constructing models of dependent type theory, using universes to obtain coherence. We then construct a (weakly) universal Kan bration, and use it to exhibit a model in simplicial sets. Lastly, we introduce the Univalence Axiom, in several equivalent formulations, and show that it holds in our model. As a corollary, we conclude that Univalent Foundations are at least as consistent as ZFC with two inaccessible cardinals.

研究の動機と目的

• 依存型理論のモデルを構築するための新しい技術を開発し、型コンストラクタ全体にわたる整合性を保証するためのユニバースを用いる。
• 単体的集合の圏において、弱く普遍的なカーン被覆を構築する。
• この単体的モデルにおいて、ユニバーサル性公理が成り立つことを示す。
• ZFCに2つの不動点を含むものに関して、ユニバーサル基礎の一貫性を確立する。

提案手法

• 型コンストラクタ全体にわたる整合性を保証するユニバースに基づく依存型理論のモデル構築法を導入する。
• 単体的集合の圏において、弱く普遍的なカーン被覆を定義し、構築する。
• 弱く普遍的なカーン被覆を用いて、単体的集合における型ユニバースと依存型を解釈する。
• この単体的モデル内で、ユニバーサル性公理を複数の同等な形で定式化する。
• 構築されたモデルにおいて、ユニバーサル性公理のすべての定式化が満たされることを検証する。
• ユニバーサル基礎の一貫性の強さが、2つの不動点を持つZFCのものを超えないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的集合において、ユニバースを用いて依存型理論の整合的モデルを構築できるか？
• RQ2 単体的集合の圏において、弱く普遍的なカーン被覆が存在するか？
• RQ3 この単体的モデルにおいて、ユニバーサル性公理のさまざまな定式化は同等か？
• RQ4 構築された単体的モデルにおいて、ユニバーサル性公理は成り立つか？
• RQ5 ユニバーサル基礎の一貫性の強さは、標準的集合論に関してどの程度か？

主な発見

• 新しいユニバースに基づく技術により、単体的集合における依存型理論の整合的モデル化が可能になった。
• 単体的集合の圏において、弱く普遍的なカーン被覆が成功裏に構築された。
• ユニバーサル性公理がこの単体的モデルで成り立つことが確認され、この文脈における有効性が裏付けられた。
• モデル内において、ユニバーサル性公理の複数の定式化が同等であることが示された。
• ユニバーサル基礎の一貫性が、ZFCに2つの不動点を含むものに関して確立された。