[論文レビュー] The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations

Terence Tao|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

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ひとこと要約

本稿は、新たなエントロピー減少論法を用い、乗法的数論の道具、乗法的関数の短い平均、およびハーディ＝リトルウッドの円周法を組み合わせることで、リウヴィル関数の二点相関に関する対数平均化チャウラ予想を確立する。主な結果は、$x \to \infty$ のとき $\sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x))$ である。これは、この問題における二点ケースのパリティ障壁を打ち破る。

ABSTRACT

Let $λ$ denote the Liouville function. The Chowla conjecture, in the two-point correlation case, asserts that $$ \sum_{n \leq x} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) = o(x) $$ as $x o \infty$, for any fixed natural numbers $a_1,a_2,b_1,b_2$ with $a_1b_2-a_2b_1 eq 0$. In this paper we establish the logarithmically averaged version $$ \sum_{x/ω(x) &lt; n \leq x} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2)}{n} = o(\log ω(x)) $$ of the Chowla conjecture as $x o \infty$, where $1 \leq ω(x) \leq x$ is an arbitrary function of $x$ that goes to infinity as $x o \infty$, thus breaking the "parity barrier" for this problem. Our main tools are the multiplicativity of the Liouville function at small primes, a recent result of Matomäki, Radziwiłł, and the author on the averages of modulated multiplicative functions in short intervals, concentration of measure inequalities, the Hardy-Littlewood circle method combined with a restriction theorem for the primes, and a novel "entropy decrement argument". Most of these ingredients are also available (in principle, at least) for the higher order correlations, with the main missing ingredient being the need to control short sums of multiplicative functions modulated by local nilsequences. Our arguments also extend to more general bounded multiplicative functions than the Liouville function $λ$, leading to a logarithmically averaged version of the Elliott conjecture in the two-point case. In a subsequent paper we will use this version of the Elliott conjecture to affirmatively settle the Erdős discrepancy problem.

研究の動機と目的

• パリティ問題の障壁を克服するため、リウヴィル関数の二点相関に関する対数平均化バージョンのチャウラ予想を確立すること。
• 短い区間における乗法的関数の相関を制御するため、新たなエントロピー減少論法を発展・適用すること。
• これらの技術を一般の有界乗法的関数に対して適用し、二点相関に関するエリオット予想の対数平均化バージョンに拡張すること。
• この平均化エリオット予想を用いて、エルドシュの分散問題を解く基盤を築くこと。
• 高次相関への拡張における主な障害を特定すること、特に任意の周波数を持つ最大指数和の制御の必要性。

提案手法

• リウヴィル関数がシフトに関して近似的に不変であるスケール $H$ を特定するための、新規のエントロピー減少論法を導入する。
• 小素数における $\lambda$ の乗法的性質を用いて、相関をランダムグラフ構造上の二重線形形式に結びつける。
• 測度集中不等式を適用して、これらの二重線形形式の分散を制御する。
• ハーディ＝リトルウッドの円周法と素数に関する制限定理を組み合わせて、主要領域寄与を分析する。
• マトマキとラドジヴィルの最近の結果（特に、変調された乗法的関数の短い平均に関する結果）を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリティ問題を回避する道具を用いて、二点相関に関する対数平均化チャウラ予想を確立できるか？
• RQ2 エントロピー減少論法が、リウヴィル関数が近似的に不変に見えるスケール $H$ を特定する役割を果たすか？
• RQ3 グラフ論的および指数和技法を用いて、リウヴィル関数を含む二重線形形式をどのように制御できるか？
• RQ4 三重相関やそれ以上の高次相関への拡張における主な障害は何か？
• RQ5 グラフの拡張性質などの代替手法を用いて、主結果から対数平均化を除去できるか？

主な発見

• 二点相関に関する対数平均化チャウラ予想が成立する：$\sum_{x/\omega(x) < n \leq x} \frac{\lambda(a_1n + b_1)\lambda(a_2n + b_2)}{n} = o(\log \omega(x))$ が $x \to \infty$ のとき成り立つ。
• この結果は、$(\lambda(n), \lambda(n+1))$ の各符号パターン $(\epsilon_1, \epsilon_2) \in \{-1,+1\}^2$ が対数的密度 $1/4$ で現れることを示唆する。
• エントロピー減少論法から導かれる二重線形推定を用いることで、二点チャウラ予想におけるパリティ障壁が打ち破られる。
• エントロピー減少論法は、リウヴィル関数が近似的に不変に見えるスケール $H$ を特定し、相関の制御を可能にする。
• 高次相関では、主な障害は $\frac{1}{X}\int_X^{2X} \sup_\alpha \left| \frac{1}{H} \sum_{x \leq n \leq x+H} \lambda(n) e(\alpha n) \right| dx$ の形をした最大指数和の制御であり、現時点ではその有界性は示されていない。
• この手法は一般の有界乗法的関数に対しても適用可能であり、二点ケースにおけるエリオット予想の対数平均化バージョンが得られる。