[論文レビュー] The Lorentz Boost-Link Is Not Unique. Relative velocity as a morphism in a connected groupoid category of null objects

Zbigniew Oziewicz|ArXiv.org|Aug 30, 2006

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ひとこと要約

この論文は、特殊相対性理論における慣性系を結ぶローレンツブーストリンクが、同じ大きさの2つのベクトルだけでは一意に定まらないと主張している。代わりに、第三の特別なベクトル（優先される観測者）が必要である。著者らは、質量を持つ物体の連結された群コアのカテゴリを提唱し、相対速度が一意なモルフィズムとして定義され、非一意な等長的ローレンツ変換に取って代わられる。これにより、ローレンツ共変性を根本的なものとせず、相対速度の観点から力学を再定式化する。

ABSTRACT

The isometry-link problem is to determine all isometry transformations among given pair of vectors with the condition that if these initial and final vectors coincide, the transformation-link must be identity on entire vector space. In the first part of this essay we provide the complete solution for the link problem for arbitrary isometry, for any dimension and arbitrary signature of the invertible metric tensor. We apply these considerations for pure Lorentz transformations, for the Lorentz boost, parameterized by relative velocity, and we are showing that the isometric pure Lorentz transformation-link is not given uniquely by the initial and final vectors. Lorentz's boost needs a choice of the preferred time-like observer. This leads to non-uniqueness of the relative velocity among two reference systems, that was apparently not intention of Einstein in 1905. Presently, as during the XX century, the Lorentz covariance is the cornerstone of physical theory. Our main conclusion is: observer-dependence (and -independence), and the Lorentz--covariance (and invariance), are different concepts. In order to have axiomatically the unique relative velocity among pair of massive bodies, we propose a connected groupoid category of massive bodies in mutual motions

研究の動機と目的

• 同じ大きさの2つのベクトル間のローレンツブースト変換の非一意性を解消すること。
• 従来の仮定とは異なり、ローレンツ共変性が観測者に依存しないものではないことを示し、相対性理論におけるその基礎的役割を疑問視すること。
• 相対速度が質量を持つ物体の連結群コアカテゴリにおける一意なモルフィズムとして定義される新しい枠組みを提唱すること。
• 標準的な等長的ローレンツブーストが本質的に非一意であり、第3の基準フレーム（特別なベクトル）を必要とすることを示し、アインシュタイン1905年の観測者不変性の原則と矛盾すること。
• 群コアカテゴリとフロベニウス代数を用いて運動論を再構築し、非結合的フロイリッヒァー＝リチャードソン代数を用いて力学を再構築することで、ローレンツ群を越えた枠組みを提示すること。

提案手法

• 任意次元および任意の計量符号型における等長リンク問題を形式化し、初期ベクトルと終了ベクトルのみでは純粋な等長変換（ブースト）が一意に定まらないことを証明する。
• 初期、終了、および特別な（優先される）ベクトルの三つ組を導入し、三つが同一平面上にある場合に限り、純粋な等長変換が一意に定まることを保証する。
• この枠組みをローレンツブーストに適用し、相対速度が特別な時間的観測者を指定しない限り一意に定まらないことを示す。
• 各モルフィズムが一意な速度モルフィズムである質量を持つ物体の連結群コアカテゴリを構築し、非一意な等長的ブーストに取って代わる。
• 圏論を用いて、相対的な空間と時間の概念を導来的概念として定義し、質量を持つ物体を原始的実体とする。
• 観測者演算子代数 Obs(ϖ) が任意の n 系統にフロベニウス代数を形成すると提唱し、相対性理論の新しい代数的基盤を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の計量符号型を持つ空間において、同じ大きさの2つのベクトル間の純粋な等長変換（ブースト）は、いくつ存在するか？
• RQ2 なぜ標準的なローレンツブーストリンクが一意ではないのか。それを一意に定義するにはどのような追加構造が必要か？
• RQ3 質量を持つ物体のカテゴリにおいて、相対速度を非一意な等長的変換に依存しない一意なモルフィズムとして定義できるか？
• RQ4 特別な基準フレームは相対速度の定義において果たす役割は何か。これにより相対性の原則にどのような影響を与えるか？
• RQ5 群コアカテゴリとフロベニウス代数を用いて、ローレンツ群を基礎対称性として用いずに、相対性の運動論をどのように再構築できるか？

主な発見

• ローレンツブーストリンクは初期ベクトルと終了ベクトルだけでは一意に定まらない。純粋な等長変換を一意に定義するには、第三の特別なベクトルが必要である。
• 非同一平面上の系では、同じ大きさの2つのベクトルの間で無限個の等長的ブースト解が存在する。
• 相対速度が特別な時間的観測者を明示しない限り、2つの慣性系間の相対速度を一意に定義することはできず、アインシュタイン1905年の観測者不変性の仮定と矛盾する。
• 本論文は、相対速度を質量を持つ物体の連結群コアカテゴリにおける一意なモルフィズムとして扱うべきであり、非一意な等長的ローレンツ変換に取って代わるべきだと提唱する。
• この新しい枠組みの運動論は、Obs(ϖ) におけるフロベニウス代数構造によって支配され、相対性理論のより深い代数的基盤を示唆する。
• 著者らは、ローレンツ共変性が重要性を失うと主張する。観測者不変性とローレンツ不変性は別個の概念であり、相対性理論における原始的実体は質量を持つ物体であり、質量のない場ではなくなるべきだとする。