[論文レビュー] The Lyapunov dimension formula of self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky system

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、回転流体対流をモデル化する一般化されたローレンツ型モデルであるグルフコフスキー＝ドルジャンスキー系におけるアトラクターのリャプノフ次元の上界を導出する。リャプノフ関数技法を用いて、ローレンツ、ロッシラー、ヘノン、チリコフ系に用いられた先行手法を、自己励起および隠れたアトラクターを有するこの系へと拡張し、フラクタル次元に関する理論的上限を提供することで、カオス的ダイナミクスの理解を支援する。

ABSTRACT

In the past two decades Lyapunov functions are used for the estimation of attractor dimensions. By means of these functions the upper estimate of Lyapunov dimension for R\{o}ssler attractor and the exact formulas of Lyapunov dimension for H\'{e}non, Chirikov, and Lorenz attractors are obtained. In this report the simplest model, suggested by Glukhovsky and Dolzhansky, which describes a convection process in rotating fluid, is considered. A system of differential equations for this model is a generalization of Lorenz system. For the Lyapunov dimension of attractor of the model, the upper estimate is obtained.

研究の動機と目的

• グルフコフスキー＝ドルジャンスキー系におけるアトラクター次元推定のためのリャプノフ関数に基づく手法を拡張すること。
• 自己励起および隠れたアトラクターを有する系における次元推定の課題に対処すること。
• 回転流体対流をモデル化する一般化ローレンツ型系におけるリャプノフ次元の理論的上界を提供すること。
• 厳密な次元推定を通じて、地球物理学的流体力学におけるカオス的挙動の理解に貢献すること。

提案手法

• 一般化ローレンツ系の一般化であるグルフコフスキー＝ドルジャンスキー系にリャプノフ関数技法を適用すること。
• 系のヤコビ行列およびリャプノフ指数の性質を用いて、リャプノフ次元の上界を導出すること。
• 先行系（例：ロッシラー、ヘノン、チリコフ、ローレンツ）からの既知の結果を活用して、手法を導くこと。
• 微分方程式の構造を活用することで、アトラクターの明示的計算を必要とせずに境界を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グルフコフスキー＝ドルジャンスキー系におけるアトラクターのリャプノフ次元の上界は何か？
• RQ2 リャプノフ関数手法は、自己励起および隠れたアトラクターを有する系にどのように適合可能か？
• RQ3 古典的カオス的系に用いられる次元推定技法は、この回転流体対流モデルへ一般化可能か？
• RQ4 導出された上界推定の理論的意義は、カオス的ダイナミクスの文脈で何であるか？

主な発見

• グルフコフスキー＝ドルジャンスキー系におけるアトラクターのリャプノフ次元の上界が、リャプノフ関数技法を用いて導出された。
• この手法は、ロッシラー、ヘノン、チリコフ、ローレンツ系から得られた先行結果を、自己励起および隠れたアトラクターを有する系を含むより広範なクラスの系へと拡張する。
• 上界は、アトラクターのフラクタル次元に対する理論的上限を提供し、カオス的挙動の特徴付けを支援する。
• 結果は、地球物理的対流をモデル化する一般化ローレンツ型系に対し、リャプノフ関数に基づく次元推定手法の適用可能性を確認する。