[論文レビュー] The Lyapunov stability of first order dynamic equations with respect to time-dependent Riemannian metrics

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Jan 30, 2002

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多様体上の滑らかな1階動的方程式が、適切な時刻依存リーマン計量を選べば、リャプノフ安定化可能であることを確立している。共変リャプノフテンソルを導入し、非テンソル的リャプノフ行列の座標不変な一般化としての役割を果たす。このテンソルの負定値性が安定性を示すことを証明した。さらに、任意の解を、計量の選択によって安定化可能であり、任意の所望のリャプノフ指数に割り当て可能であることを示し、滑らかな系におけるカオスは、時刻依存計量によって完全に特徴付けられることを示している。

ABSTRACT

Solutions of a smooth first order dynamic equation can be made Lyapunov stable at will by the choice of an appropriate time-dependent Riemannian metric.

研究の動機と目的

• 1階動的方程式における優先されるリーマン計量の欠如という問題に取り組むこと。これはリャプノフ安定性を定義するために不可欠である。
• 一般座標変換に対して不変である幾何的枠組みを、リャプノフ安定性に構築すること。
• 任意の滑らかな1階動的方程式に対して、すべての解がリャプノフ安定となるような時刻依存リーマン計量が存在することを示すこと。
• 解のリャプノフ指数を、適切な計量選択により任意の実数に設定できることを示すこと。

提案手法

• 共変リャプノフテンソルを真のテンソル場として導入し、非テンソル的リャプノフ行列の一般化とする。
• 時刻依存リーマン計量の時間微分とベクトル場のヤコビ行列を用いて、共変リャプノフテンソルを定義する。
• 動的系の変動方程式を用い、共変リャプノフテンソルを垂直接続バンドル上の対称2次形式として導出する。
• 初期データファイバーにおけるノーマル座標を用い、近接する解間の距離およびその時間発展を分析する。
• 正の関数 h(t) を用いて、解のリャプノフ指数を制御する特定の時刻依存計量を構成する。
• チューブ型近傍とリーマン距離関数を用い、幾何的観点から安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階動的方程式の解のリャプノフ安定性は、適切な時刻依存リーマン計量の選択によって保証可能か？
• RQ2 任意の座標変換下でもテンソル形式に一般化可能な、リャプノフ行列の幾何的対象は存在するか？
• RQ3 滑らかな1階動的方程式の任意の解は、適切な時刻依存計量の選択によってリャプノフ安定化可能か？
• RQ4 解のリャプノフ指数は、計量設計により任意の実数に設定可能か？
• RQ5 滑らかな力学系におけるカオスは、時刻依存リーマン計量によってどの程度特徴付けられるか？

主な発見

• 共変リャプノフテンソルが解の軌道に沿って負定値であることは、その解が関連する時刻依存リーマン計量に関してリャプノフ安定であるための必要十分条件である。
• 滑らかな1階動的方程式が完全なベクトル場を持つ限り、すべての解がリャプノフ安定となるような時刻依存リーマン計量が存在する。
• 解のリャプノフ指数を任意の所定の実数 λ に設定するには、共変リャプノフテンソルの構成において、計量を exp(λt) に比例させるように選べばよい。
• 共変リャプノフテンソルが負定値であるとき、近接する解間のリーマン距離の時間微分は負となり、時間経過とともに分離距離が減少することを示唆する。
• 正のリャプノフ指数を特徴とする滑らかな力学系におけるカオスは、時刻依存リーマン計量の選択によって完全に特徴付けられる。
• 安定性条件は時刻に依存しない座標変換では保存されるが、一般の時刻依存変換では保存されない。これにより、計量の本質的役割が強調される。