[論文レビュー] The Mackey Machine for Crossed Products by Regular Groupoids. I

Geoff Goehle|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リエッフェル型の誘導系を導入することで、群oids による交叉積に対するマッケイ・マシンを構築する。任意の $A \rtimes G$ の既約表現が、ある $u \in G^{(0)}$ に対して、安定化子交叉積 $A(u) \rtimes S_u$ の表現からの誘導によって得られることを証明する。主な貢献は、群oid $G$ に対して正則性仮定をおくことで、誘導理論的完全分類が可能になることである。結果として、ヒルベルト空間とモリタ同値を用いて、群や群oid $C^*$-代数に関する先行研究を一般化した群oid力学系へのマッケイ・マシンの拡張が得られる。

ABSTRACT

We first describe a Rieffel induction system for groupoid crossed products. We then use this induction system to show that, given a regular groupoid $G$ and a dynamical system $(A,G,α)$, every irreducible representation of $A times G$ is induced from a representation of the group crossed product $A(u) times S_u$ where $u\in G\unit$, $A(u)$ is a fibre of $A$, and $S_u$ is a stabilizer subgroup of $G$.

研究の動機と目的

• リエッフェルのヒルベルト空間フレームワークを用いて、群oid交叉積へのマッケイ・マシンを拡張すること。
• 正則群oid $G$ および $C_0(G^{(0)})$-代数 $A$ に対する $A \rtimes G$ の表現論を扱うこと。
• 任意の $A \rtimes G$ の既約表現が、ある安定化子交叉積 $A(u) \rtimes S_u$ の表現から誘導されることを確立すること。
• $S$ を安定化子部分群oidとするとき、$A \rtimes G$ のスペクトルが $A \rtimes S$ のスペクトルの商空間として記述されることを示すこと。
• 既存の群交叉積および群oid $C^*$-代数に関する結果を、群oid力学系の文脈に一般化すること。

提案手法

• ヒルベルト $A \rtimes S_u$-加群を用いて、群oid交叉積のためのリエッフェル誘導系を導入する。
• ユニット空間 $G^{(0)}$ の構造と $G$ の作用を用いて、$u \in G^{(0)}$ に対して安定化部分群 $S_u$ を定義する。
• マッケイ＝グリム二分岐を適用し、$G$ が正則であると仮定することで、$G^{(0)}/G$ がほとんどハウスドルフとなるようにする。
• 開 $G$-不変集合 $U_\beta \subset G^{(0)}$ を用いて、$A \rtimes G$ の列 $\{I_\beta\}$ を順序数でインデックスする。
• 各商 $I_{\beta+1}/I_\beta$ が、ハウスドルフ商空間 $G|_{U_{\beta+1} \setminus U_\beta}$ 上の交叉積と同型であることを証明する。
• $S_u$ から $G|_{U_{\beta+1} \setminus U_\beta}$ への誘導を適用し、既約表現が $A(u) \rtimes S_u$ からの誘導によって得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定化部分群からの誘導を用いて、群oid交叉積へのマッケイ・マシンを一般化できるか？
• RQ2 すべての $A \rtimes G$ の既約表現が $A(u) \rtimes S_u$ の表現から誘導されるのはどのような条件下か？
• RQ3 $A \rtimes G$ のスペクトルは、安定化子交叉積 $A(u) \rtimes S_u$ のスペクトルとどのように関係するか？
• RQ4 群oid $G$ の正則性が誘導機構が機能することを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $R$ が $A(u) \rtimes S_u$ 上で既約ならば、誘導表現 $\operatorname{Ind}_{S_u}^G R$ は $G$ 上で既約か？

主な発見

• 群oid $G$ が正則であるという仮定の下で、任意の $A \rtimes G$ の既約表現は、ある $u \in G^{(0)}$ に対して $A(u) \rtimes S_u$ の表現から誘導される。
• 誘導表現 $\operatorname{Ind}_{S_u}^{G|_{U_{\beta+1} \setminus U_\beta}} R$ の標準的拡張が $A \rtimes G$ 上で $\operatorname{Ind}_{S_u}^G R$ と一致することを示し、誘導レベル間の整合性を保証する。
• $I_{\beta+1}/I_\beta$ が $A(U_{\beta+1} \setminus U_\beta) \rtimes G|_{U_{\beta+1} \setminus U_\beta}$ と同型であることを示し、表現論の局所化を可能にする。
• 軌道空間がハウスドルフであれば、$R$ が $A(u) \rtimes S_u$ 上で既約ならば、表現 $\operatorname{Ind}_{S_u}^{G|_{U_{\delta} \setminus U_{\sigma}}} R$ は $G|_{U_{\delta} \setminus U_{\sigma}}$ 上で既約である。
• $\operatorname{Ind}_{S_u}^G R \simeq \operatorname{Ind}_{S_u}^G L$ ならば $R \simeq L$ であることを示し、既約表現の上への誘導が単射であることを示す。
• $A \rtimes G$ のスペクトルは、$\coprod_{u \in G^{(0)}} (A(u) \rtimes S_u)^\wedge$ の直和の商空間と位相同相であり、誘導構造を反映している。