[論文レビュー] The MacMahon Master Theorem for right quantum superalgebras and higher Sugawara operators for \hat gl(m|n)

Alexander Molev, E. Ragoucy|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、右量子スーパ-algebra におけるマクマヘン・マスタ一定理の超代数的類似を証明し、それを用いて、臨界レベルにおけるアフィンリ Lie スーパー代数 $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の明示的な高次 Sugawara 演算子を構成する。これらの演算子は非可換 Berezinian の展開における係数として、および生成子行列のべきのトレースとして現れ、一般の Verma 加群の特異的ベクトルの代数的独立な生成子をなす。

ABSTRACT

We prove an analogue of the MacMahon Master Theorem for the right quantum superalgebras. In particular, we obtain a new and simple proof of this theorem for the right quantum algebras. In the super case the theorem is then used to construct higher order Sugawara operators for the affine Lie superalgebra \hat gl(m|n) in an explicit form. The operators are elements of a completed universal enveloping algebra of \hat gl(m|n) at the critical level. They occur as the coefficients in the expansion of a noncommutative Berezinian and as the traces of powers of generator matrices. The same construction yields higher Hamiltonians for the Gaudin model associated with the Lie superalgebra gl(m|n). We also use the Sugawara operators to produce algebraically independent generators of the algebra of singular vectors of any generic Verma module at the critical level over the affine Lie superalgebra.

研究の動機と目的

• 右量子スーパ-algebra の枠組みにマクマヘン・マスタ一定理を拡張すること。
• 非超的右量子の場合における、この定理の新たな簡略化された証明を提供すること。
• アフィンリ Lie スーパー代数 $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の高次 Sugawara 演算子を明示的に構成すること。
• これらの演算子が、臨界レベルにおける一般の Verma 加群の特異的ベクトルの代数的構造を生成することを示すこと。
• $\mathfrak{gl}(m|n)$ に関連する Gaudin モデルにこの構成を適用すること。

提案手法

• 非可換行列式を用いて、右量子スーパ-algebra の枠組みにマクマヘン・マスタ一定理を適応する。
• 右量子スーパ-algebra に対して非可換 Berezinian を定義し、その展開から高次 Sugawara 演算子が得られることを示す。
• Sugawara 演算子をスーパ-algebra の生成子行列のべきのトレースとして表現する。
• 収束性と代数的独立性を保証するため、臨界レベルにおける $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の完備化された普遍包あらゆる代数の枠組みで作業する。
• 非可換 Berezinian の構造を用いて、演算子間の関係を導出し、中心性を検証する。
• 同様の枠組みを Gaudin モデルに適用し、ハミルトニアンを生成子行列のべきのトレースとして特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクマヘン・マスタ一定理は右量子スーパ-algebra に一般化可能か？
• RQ2 臨界レベルにおける $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の高次 Sugawara 演算子は、どのように明示的に構成可能か？
• RQ3 構成された Sugawara 演算子は、$\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の一般の Verma 加群における特異的ベクトルの代数的構造を生成するか？
• RQ4 非可換 Berezinian は、これらの演算子の構造をどのように符号化しているか？
• RQ5 同じ構成によって、$\mathfrak{gl}(m|n)$ に関連する Gaudin モデルのハミルトニアンが得られるか？

主な発見

• 右量子代数におけるマクマヘン・マスタ一定理の新たな簡略化された証明が得られた。
• 右量子スーパ-algebra におけるマクマヘン・マスタ一定理の類似が確立された。
• $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の高次 Sugawara 演算子が、非可換 Berezinian の展開における係数として明示的に構成された。
• これらの演算子は、スーパ-algebra の生成子行列のべきのトレースとしても表現された。
• これらの演算子は、臨界レベルにおける $\check{\mathrm{gl}}(m|n)$ の完備化された普遍包あらゆる代数の中心的元である。
• Sugawara 演算子は、臨界レベルにおける任意の一般の Verma 加群の特異的ベクトルの代数的構造の代数的独立な生成子をなす。