[論文レビュー] The Manneville map: topological, metric and algorithmic entropy

Claudio Bonanno|ArXiv.org|Jul 27, 2001

Fractal and DNA sequence analysis参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$z > 1$ に対して $f(x) = x + x^z \mod 1$ として定義されるマンネビル法の形式的解析を、アルゴリズム的情報含量（AIC）を用いて行い、$z > 2$ の場合に AIC が $n^{1/(z-1)} \log n$ のように増加することを示しており、これは弱いカオスを示唆している。一方 $z < 2$ の場合には線形に増加する。本研究では、マンネビル法を統合的かつ拡張的に扱える一般化された区分的線形写像の族 $L$ を導入し、周期的から完全にカオス的までのアルゴリズム的挙動の連続的スケーリングを明らかにした。AIC は、従来のエントロピー指標が失敗する状況においても、動的システムの分類に有効な鍵となる指標であることが示された。

ABSTRACT

We study the Manneville map f(x)=x+x^z (mod 1), with z&gt;1, from a computational point of view, studying the behaviour of the Algorithmic Information Content. In particular, we consider a family of piecewise linear maps that gives examples of algorithmic behaviour ranging from the fully to the mildly chaotic, and show that the Manneville map is a member of this family.

研究の動機と目的

• $z > 2$ のマンネビル法におけるアルゴリズム的情報含量（AIC）の行動を形式的に確立すること。この場合、コルモゴロフ＝シンアイ entropy はゼロである。
• マンネビル法を一般化し、周期的から完全にカオス的までのアルゴリズム的挙動のスケーリングを示す、区分的線形写像 $L$ の一般族を導入すること。
• Kolmogorov-Sinai エントロピーがゼロであるシステムにおいて、従来の測度が失敗する状況でも、AIC が動的システムの分類に強力であることを示すこと。
• Lebesgue 測度下での記号的軌道の期待 AIC に対して、正確な漸近的見積もりを提供すること。

提案手法

• 区間 $[0,1]$ 上で $f(x) = x + x^z \mod 1$ としてマンネビル法を定義し、区間を記号に分割することでその記号的力学を分析する。
• 数列 $\epsilon_k$ でパラメータ化された一般化された区分的線形写像 $L$ の族を導入し、マンネビル法がその特別な場合に含まれることを示す。
• 記号的力学とマルコフ連鎖の同値性を用いて、系の時間発展をモデル化し、有限文字列の期待 AIC を計算する。
• 文字列 $\sigma^n$ を生成する最小のプログラム長としてのアルゴリズム的情報含量 $I_{AIC}(\sigma^n)$ を定義し、その平均複雑度 $K(\sigma) = \limsup_{n \to \infty} \frac{I_{AIC}(\sigma^n)}{n}$ を定義する。
• 小領域 $U_\delta$ 上の Lebesgue 測度 $l$ を用いて期待 AIC $E_{\mu_\delta}[I_{AIC}(\sigma^n)]$ を推定し、$n$ が十分に大きい場合に全測度と等価であることを示す。
• CASToRe 圧縮アルゴリズムを AIC の実用的近似として用い、マンネビル法およびカオスの閾値におけるロジスティック写像に対して理論的予測を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $z > 2$ のマンネビル法に対して、記号的軌道のアルゴリズム的情報含量（AIC）はどのように振る舞うか？
• RQ2 周期的から完全にカオス的までのアルゴリズム的挙動の全範囲を捉えることができる、区分的線形写像の一般族を構築できるか？
• RQ3 Lebesgue 測度下での典型的な初期条件に対して、$E_{\mu_\delta}[I_{AIC}(\sigma^n)]$ の正確な漸近的スケーリングは何か？
• RQ4 Kolmogorov-Sinai エントロピーがゼロであるシステムにおいて、AIC に基づく分類は、従来の測度（例：K-S エントロピー）と比較してどのように異なるか？
• RQ5 弱いカオスを示す動的システムにおいて、CASToRe などの圧縮アルゴリズムが真の AIC をどの程度正確に近似できるか？

主な発見

• $z > 2$ のマンネビル法に対して、期待 AIC は $n^{1/(z-1)} \log n$ のように増加し、周期的と完全にカオス的の中間的で非自明な複雑性を示している。
• $z < 2$ の場合には、期待 AIC は $n$ に比例して線形に増加するが、これは正の K-S エントロピーと整合的である。ただし、系は非一様に双曲的である。
• Lebesgue 測度下で、$z > 2$ のマンネビル法はアルゴリズム的エントロピー $h_l = 0$ を示し、平均複雑度 $K(\sigma) = 0$ であるが、AIC は部分線形増加により非自明な構造を捉えている。
• 一般族 $L$ を用いることで、アルゴリズム的挙動が、周期的（$I_{AIC} = O(\log n)$）から完全にカオス的（$I_{AIC} \sim n$）へ、さらには弱いカオス的（$I_{AIC} \sim n^\alpha \log n$, $\alpha < 1$）へと連続的に変化するスケーリングが可能である。
• 本研究では、$n > R(\delta)$ に対して $E_{\mu_\delta}[I_{AIC}(\sigma^n)] \sim E_l[I_{AIC}(\sigma^n)]$ が成り立つことを証明し、局所的な初期条件が、グローバルな Lebesgue 測度と同一の漸近的 AIC を与えることを示した。
• CASToRe 圧縮アルゴリズムを用いた実験的結果は、マンネビル法（$I_{CASToRe} \sim n^\alpha$, $\alpha < 1$）およびカオスの閾値におけるロジスティック写像に対して理論的 AIC スケーリングを支持しており、AIC が実用的な分類ツールとして有効であることを裏付けた。