[論文レビュー] The Marcinkiewicz-type discretization theorems for the hyperbolic cross polynomials

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Numerical Methods and Algorithms被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、確率的および数論的技法を用いて、双曲的クロス三角多項式に対するMarcinkiewicz型離散化定理を確立する。双曲的クロス多項式の部分空間は、次元に比例するサイズのサンプリング集合に対して離散化可能であり、点評価による$L_q$-ノルムの均一な制御が達成され、混合滑らかさクラスにおけるエントロピー数および近似誤差の明示的評価が得られる。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to study the discretization problem for the hyperbolic cross trigonometric polynomials. This important problem turns out to be very difficult. In this paper we begin a systematic study of this problem and demonstrate two different techniques -- the probabilistic and the number theoretical techniques.

研究の動機と目的

• 近似理論および計算数学における根本的な課題である、双曲的クロス三角多項式の離散化問題を体系的に取り扱う。
• 混合滑らかさ関数クラスの文脈において、$ L_q $-ノルムの離散化に関してMarcinkiewicz型定理を確立する。
• ノルム同値性を保つサンプリング集合を構成するための2つの異なるアプローチ（確率的および数論的）を示す。
• $ L_\rho $-空間におけるエントロピー数の新たな上界を導出する、特に双曲的クロス多項式に対して。
• 多変数の双曲的クロス設定へ、既知の最良$m$-項近似およびエントロピー数の結果を拡張する。

提案手法

• サブスペース$ X_N $に対して、$ \mathcal{M}(m,q) $定理フレームワークを用いて離散化を定義する：$ f $の$ \ell_q $-平均の正規化が$ \|f\|_q^q $と同値となるような$ m $個の点を求める。
• 双曲的クロス多項式に対して、Marcinkiewicz型不等式を高確率で満たすサンプリング集合を確率的技法を用いて構成する。
• 数論的構成（例：$ \nu(4\mathbf{N}) $に基づく構造的グリッド）を用いて、最適なサンプリングサイズとノルム同値性を達成する。
• チェビシェフ型関数から導かれる$ \mathcal{V}^d $のテンソル積構造を活用し、部分和のsup-ノルムを評価する。
• 文献[19]の不等式を用いて、最良$m$-項近似とエントロピー数の双対性を活用し、近似誤差とエントロピーの減衰を結びつける。
• 補題5.1を適用して、部分和のsup-ノルムを$ 2^{\|\mathbf{s}\|_1/2} $の項で評価し、係数の$ \ell^1 $-ノルムの制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元に比例するサイズのサンプリング集合に対して、双曲的クロス三角多項式に対するMarcinkiewicz離散化定理を確立できるか？
• RQ2 双曲的クロス多項式の$ L_q $-ノルムを定数倍の誤差で保つための最適なサンプリング集合のサイズは何か？
• RQ3 確率的および数論的手法は、このような離散化集合の構成においてどのように比較できるか？
• RQ4 双曲的クロス多項式空間の単位球のエントロピー数は何か？また、インデックス$ k $に関してどのように減衰するか？
• RQ5 $ p \geq 2 $の$ L_p $-空間において、最良$m$-項近似の評価を双曲的クロス多項式へ拡張できるか？

主な発見

• 双曲的クロス三角多項式の部分空間$ \mathcal{T}(Q_n) $は、$ m \asymp |Q_n| $を満たす$ \mathcal{T}(Q_n) \in \mathcal{M}(m,q) $を満たし、$ 1 \leq q \leq \infty $において$ L_q $ノルムの同値性を達成する。
• $ d=2 $ の場合、$ L_p $における最良$m$-項近似は$ \sigma_m(\mathcal{V}(Q_n)_A, \mathcal{V}_n^1)_p \ll |Q_n|^{1/2 - 1/p} m^{1/p - 1} $を満たし、高次元では$ \ll n^{(d-1)/2}(|Q_n|/m)^{1-1/p} $に改善される。
• $ \mathcal{T}(Q_n)_1 $の$ L_\infty $における単位球のエントロピー数は、$ k \leq 2|Q_n| $に対して$ \varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{d/2}(|Q_n|/k)\log(4|Q_n|/k) $を満たす。
• $ k \geq 2|Q_n| $ の場合、エントロピー数は指数的に減衰する：$ \varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_1, L_\infty) \ll n^{d/2} 2^{-k/(2|Q_n|)} $。
• 部分和$ \sum_{\mathbf{k} \in \rho^+(\mathbf{s})} a_\mathbf{k} v_\mathbf{k} $のsup-ノルムは、$ C(d,\kappa,\delta) 2^{\|\mathbf{s}\|_1/2} \max |a_\mathbf{k}| $で有界であり、$ \ell^1 $-ノルムの制御が可能になる。
• 本結果は、正則グリッド上の既知の$ L_2 $-ノルム離散化を、双曲的クロス多項式を用いた混合滑らかさクラスにおける$ L_q $-ノルムおよびエントロピー推定に拡張する。