[論文レビュー] The Maslov and Morse indices for Schrödinger operators on $\mathbb{R}$

Peter Howard, Yuri Latushkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の対称的ポテンシャルが定数端状態に漸近するシュレーディンガー作用素に対して、マスロフ指数とモース指数の明確な関係を確立する。適切な漸近的条件下で、モース指数（負の固有値の個数）がマスロフ指数の負に等しくなることを証明し、幾何的位相的方法を用いてスペクトル数の数値計算を可能にする。

ABSTRACT

Assuming a symmetric potential that approaches constant endstates with a sufficient asymptotic rate, we relate the Maslov and Morse indices for Schrödinger operators on $\mathbb{R}$. In particular, we show that with our choice of convention, the Morse index is precisely the negative of the Maslov index.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素の実数直線上におけるマスロフ指数とモース指数の厳密な関係を確立すること。
• モース指数（負の固有値の個数）を幾何的かつ計算的に取り扱える方法で数えるという課題に取り組むこと。
• モース指数がシンプレクティック幾何学およびラグランジュ部分空間理論を用いてマスロフ指数によって計算可能であることを示すこと。
• マスロフ指数を用いた数値的スペクトル数計算のフレームワークを提供すること。これは直接的な固有値数え上げよりもアルゴリズム的実装に適している。

提案手法

• シンプレクティック構造と行列 J を用いて R^{2n} におけるラグランジュ部分空間を定義し、フレームを用いてそれらを表現する。
• −∞ における減衰解から得られるラグランジュ部分空間族と、+∞ における減衰解から得られるラグランジュ部分空間族を、λ < ν_min でパラメータ化する。
• マスロフ指数を用いて、2つのラグランジュ路の交差回数（重複度と向きを含む）を数え、スペクトルの変化を追跡する。
• 固有値におけるラグランジュ路 ε^-(x;λ) の連続性および不連続性を確立し、固有値が交差に対応することを示す。
• ＋∞ におけるポテンシャルの固有ベクトルと固有値の比を用いて、ω^+(λ) と呼ばれる巻き数に類似した量を定義し、マスロフ指数を追跡する。
• V(x) に対する与えられた漸近的条件下で、モース指数がマスロフ指数の負に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的ポテンシャルが定数端状態に漸近する実数直線上のシュレーディンガー作用素に対して、マスロフ指数とモース指数はどのように関係するか？
• RQ2 負の固有値を数えるモース指数が、トポロジー的不変量であるマスロフ指数によって計算可能か？
• RQ3 ポテンシャル V(x) の漸近的減衰率は、マスロフ－モース指数関係の有効性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 固有値におけるラグランジュ路の不連続性は、作用素のスペクトル的性質とどのように関係するか？
• RQ5 マスロフ指数が数値的に計算可能で、モース指数と等価となる条件は何か？

主な発見

• ポテンシャル V(x) に対する与えられた漸近的条件下で、シュレーディンガー作用素 H のモース指数はマスロフ指数の負に等しい。
• マスロフ指数は適切に定義され、＋∞ における減衰解のフレームの巻き数を用いて計算可能であり、基準ラグランジュ部分空間との交差を追跡する。
• λ < ν_min のとき、x → -∞ で減衰する線形独立な解がちょうど n 個存在し、x → +∞ で減衰する解も n 個存在するため、ラグランジュフレームの存在が保証される。
• ラグランジュ路 ε^-(x;λ) は固有値において不連続であり、その不連続性はマスロフ指数が ±1 だけジャンプすることに対応する。
• マスロフ指数は固有値を除いて連続であり、そのジャンプ総和がモース指数に等しい。
• 仮定 (A1) および (A2) の下で、すなわち V(x) − V_± が十分に減衰し、V_± の固有値が非負である条件下で、関係 モース指数 = -マスロフ指数 が成り立つ。