[論文レビュー] The mass of asymptotically hyperbolic Riemannian manifolds

Piotr T. Chruściel, Marc Herzlich|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、計量と参照写像に適切な減衰条件が成り立つ場合、漸近的に双曲的リーマン多様体に対して質量積分の存在および不変性を確立する。質量積分は、大きな球面上でのフラックスの極限として定義され、有限であり、等長変換を除いて参照写像の選び方に依存しない。これにより、この設定において幾何的に整合性のある質量の概念が得られる。

ABSTRACT

We present a set of global invariants, called "mass integrals", which can be defined for a large class of asymptotically hyperbolic Riemannian manifolds. When the "boundary at infinity" has spherical topology one single invariant is obtained, called the mass; we show positivity thereof. We apply the definition to conformally compactifiable manifolds, and show that the mass is completion-independent. We also prove the result, closely related to the problem at hand, that conformal completions of conformally compactifiable manifolds are unique.

研究の動機と目的

• 漸近的に双曲的リーマン多様体に対して幾何的に意味のある質量の概念を定義すること。
• 無限遠における大きな球面上の質量積分の有限性と適切に定義されていることの保証。
• 等長変換を用いた参照写像の変更に対して質量が不変であることを確立すること。
• バックグラウンド計量および参照写像の選び方に依存する質量の依存関係の制御。

提案手法

• 径数 r の等高面を用いて、ベクトル場 𝕌 のフラックスの極限として質量積分を定義する。
• 計量 g および参照写像 Φ の減衰推定を用いて、可積分性と収束性を保証する。
• 中空領域における発散定理を適用し、異なる半径におけるフラックスを関連づけ、極限の存在を導出する。
• 等長変換不変性を用いて、質量が参照写像 Φ の選び方に依存しないことを示す（等長変換の合成を除いて）。
• [ChNagyATMP] の結果を活用し、二つの参照写像間の漸近的挙動の差を制御する。
• フレームに基づく解析と b-正規直交フレームを用いて、計量構造および微分の減衰を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に双曲的多様体における大きな球面上の質量積分が、有限な極限に収束するための条件は何か？
• RQ2 質量積分は、バックグラウンド計量を定義するために用いられる参照写像 Φ の選び方にどのように依存するか？
• RQ3 適切な等長変換を用いることで、質量を参照写像の選び方に依存させないようにできるか？
• RQ4 計量およびその微分に必要な減衰条件は何か？ これにより、質量の有限性と不変性が保証される。
• RQ5 参照写像の第一および第二微分は、質量積分の漸近的挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 方程式 (2.11) の極限によって定義される質量積分は、提示された減衰条件下で、Nb₀ に属するすべてのベクトル場 V に対して存在し、有限である。
• 質量積分は、定義に用いられる正規直交フレームの選び方に依存しない、well-defined な線形汎関数を定める。
• 二つの参照写像 Φ₁ と Φ₂ が減衰条件 (2.13) を満たすならば、それに対応する質量汎関数は、バックグラウンド計量 b₀ の等長変換 A によって関連づけられる。
• 特に、HΦ₂(V) = HΦ₁(V∘A⁻¹) が成り立ち、質量がバックグラウンド計量の等長変換との合成に関して不変であることが示される。
• 差 Φ₂ − Φ₁∘A は、n > 2 の場合 o(r⁻ⁿ/²)、n = 2 の場合 O(r⁻¹⁻ε) のオーダーで減衰し、漸近的に同値であることが保証される。
• 写像の差の第一および第二微分の減衰が制御され、[ChNagyATMP] の結果の適用が可能となり、等長変換不変性の確立が可能となる。