[論文レビュー] The Matsumoto and Yor process and infinite dimensional hyperbolic space

Philippe Bougerol|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動 $B_t$ に対して $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ で定義される Matsumoto–Yor プロセスが、$q \to \infty$ の極限において、双曲空間 $\mathbb{H}_q$ 上のブラウン運動の径数的成分として生じることを確立している。さらに、この結果を固定された $p$ に対して $q \to \infty$ の極限において、無限次元対称空間 $SU(p,q)$、$SO(p,q)$、$Sp(p,q)$ に一般化し、正則木 $\mathbb{T}_q$ 上の離散的 Pitman 型プロセスへの収束を示し、Matsumoto–Yor プロセスのマルコフ性の幾何的説明を提供している。

ABSTRACT

The Matsumoto\,--Yor process is $\int\_0^t \exp(2B\_s-B\_t)\, ds$, where $(B\_t)$ is a Brownian motion. It is shown that it is the limit of the radial part of the Brownian motion at the bottom of the spectrum on the hyperbolic space of dimension $q$, when $q$ tends to infinity. Analogous processes on infinite series of non compact symmetric spaces and on regular trees are described.

研究の動機と目的

• Matsumoto–Yor プロセスが、$q \to \infty$ の極限において双曲空間 $\mathbb{H}_q$ 上のブラウン運動の径数的成分として幾何的に解釈可能であることを提供すること。
• 固定された $p$ に対して、$q \to \infty$ の極限においてこの結果を高ランク対称空間 $SU(p,q)$、$SO(p,q)$、$Sp(p,q)$ に拡張すること。
• $SU(p,q)$ 上の極限プロセスの生成子を、球関数の漸近的解析により導出すること。
• 正則木 $\mathbb{T}_q$ 上の単純ランダムウォークの径数的成分が $q \to \infty$ の極限で離散的 Pitman プロセスに収束することを示し、離散的アナロジーを確立すること。

提案手法

• 双曲空間 $\mathbb{H}_q$ の超曲面モデルおよび上半平面モデルを用いて、ブラウン運動の径数的成分を極座標で表現する。
• Cartan 分解および Iwasawa 分解を用いて、対称空間 $G/K$ 上のブラウン運動を分析し、径数的成分を抽出する。
• Harish-Chandra の展開および $c$-関数を用いた球関数 $\varphi_\lambda$ の漸近的解析により、$q \to \infty$ の極限を研究する。
• $SU(p,q)$ 上の極限プロセスの生成子を、ラプラス＝ベルトラミー作用素の径数的成分の漸近挙動を分析することで導出する。
• Inozemtsev の極限を用いて、径数的プロセスを量子 Toda ハミルトニアン $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$ と結びつける。
• Montel の定理および $\lambda g_q(\lambda,r)$ の一様収束性を用いて、$q \to \infty$ の極限において $g_q(\lambda,r) \to 0$ が成り立つことを示し、Macdonald 関数 $K_\lambda(e^{-r})$ への収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Matsumoto–Yor プロセスは、$q \to \infty$ の極限において、双曲空間 $\mathbb{H}_q$ 上のブラウン運動の径数的成分として生じるか？
• RQ2 固定された $p$ に対して $q \to \infty$ の極限において、$SU(p,q)$ 上の径数的プロセスの生成子は何か？
• RQ3 $SO(p,q)$ および $Sp(p,q)$ 上のブラウン運動の径数的成分は、同じ極限でどのように振る舞うか？
• RQ4 正則木 $\mathbb{T}_q$ 上に Matsumoto–Yor プロセスの離散的アナロジーを構成でき、$q \to \infty$ の極限で収束するか？
• RQ5 球関数および $c$-関数は、対称空間上径数的プロセスの漸近的解析において果たす役割は何か？

主な発見

• Matsumoto–Yor プロセス $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ は、$q \to \infty$ の極限において、$\mathbb{H}_q$ 上のブラウン運動の径数的成分の極限として得られ、そのマルコフ性の幾何的起源を提供する。
• $\log \eta_t$ の生成子は $\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2} + \left(\frac{d}{dr}\log K_0(e^{-r})\right)\frac{d}{dr}$ であり、ここで $K_0$ は Macdonald 関数である。
• $SU(p,q)$ に対して、極限径数的プロセスの生成子は球関数の漸近的挙動から導出され、$q \to \infty$ の極限で量子 Toda ハミルトニアン $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$ に収束する。
• 正則木 $\mathbb{T}_q$ 上の単純ランダムウォークの径数的成分は、$q \to \infty$ の極限で、$\Sigma_n$ を $\mathbb{Z}$ 上の単純ランダムウォークとするとき、$2\max_{0\leq k\leq n}\Sigma_k - \Sigma_n$ に分布収束する。
• 差 $g_q(\lambda,r) = a(q)(\delta_q^{1/2}\tilde{\varphi}_\lambda)(\log m_\alpha + r) - K_\lambda(e^{-r})$ は、$q \to \infty$ の極限で $\lambda$ および $r$ に関して一様に 0 に収束し、$\lambda g_q(\lambda,r)$ のすべての導関数が極限で消える。
• ランク1における球関数 $\varphi_\lambda$ の漸近展開により、$\lim_{q\to\infty} \frac{1}{m_\alpha^\lambda} \Psi_{CMS}(\lambda,q,r + \log m_\alpha) = \Psi_T(\lambda,r)$ が成り立ち、$CMS$ ハミルトニアンと Toda ハミルトニアンを結びつける。