[論文レビュー] The max-plus algebra approach in modelling of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単一サーバーのフォーク・ジョインノードと無限バッファを備えたキューイングネットワークをモデル化するためのmax-plus代数フレームワークを提案する。これにより、出荷時刻の統一的線形動的状態方程式が可能になる。主な貢献は、サービス時間から導かれる状態遷移行列を用いた行列ベースの表現であり、この表現は、トランジットシステムおよびラウンドロビンルーティングネットワークを同等のフォーク・ジョインモデルを介して適用可能にするmax-plus代数を用いてネットワークダイナミクスを捉えるものである。

ABSTRACT

A class of queueing networks which consist of single-server fork-join nodes with infinite buffers is examined to derive a representation of the network dynamics in terms of max-plus algebra. For the networks, we present a common dynamic state equation which relates the departure epochs of customers from the network nodes in an explicit vector form determined by a state transition matrix. We show how the matrix may be calculated from the service time of customers in the general case, and give examples of matrices inherent in particular networks.

研究の動機と目的

• フォーク・ジョイン操作および無限バッファを有する複雑なキューイングネットワークを統一的かつ代数的にモデル化するフレームワークの構築を目的とする。
• max-plus代数を用いて、このようなネットワークのダイナミクスを線形形式で表現し、解析的およびシミュレーションベースの分析を可能にする。
• max-plusアプローチを、オープンおよびクローズドネットワーク、特に定期的なラウンドロビンルーティングを含むネットワークに拡張する。
• トランジットシステムおよびラウンドロビンネットワークが、同一の代数的構造内でのフォーク・ジョインネットワークの特殊ケースとしてモデル化可能であることを示す。
• max-plus代数におけるサービス時間データから状態遷移行列の明示的表現を導出する。

提案手法

• max-plus代数を形式化し、演算 ⊕（最大値）および ⊗（加算）を用い、ε = -∞ を零元、0 を単位元とする。
• 出荷時刻の状態ベクトルを定義し、ネットワークダイナミクスを線形方程式 d(k) = T(k) ⊗ d(k-1) で表現する。ここで T(k) は状態遷移行列である。
• サービス時間 τ_ik およびルーティング規則を用いて、max-plus代数における行列演算により状態遷移行列 T(k) を構築する。
• ラウンドロビンルーティングを有するシステムを、巡回的顧客分配をモデル化する補助ノードを導入することで、同等のフォーク・ジョインネットワークに変換する。
• max-plus代数における行列の累乗および経路長に関する定理を適用し、T(k) の閉形式表現を導出する。特に (E ⊕ X)^q = E ⊕ X ⊕ ... ⊕ X^q を活用する。
• 行列のグラフ的解釈を用いて到達可能性および経路長を分析し、行列累乗展開の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 max-plus代数は、フォーク・ジョイン操作を有するキューイングネットワークのダイナミクスに対して、統一的かつコンactな表現を提供できるか？
• RQ2 max-plus代数において、サービス時間およびルーティング規則から状態遷移行列を体系的に導出する方法は何か？
• RQ3 定期的なラウンドロビンルーティングを有するシステムは、フォーク・ジョインネットワークと同一のフレームワーク内でモデル化可能か？
• RQ4 無限バッファを有する単一サーバーのノードおよびフォーク・ジョイン意味論を有するネットワークの動的状態方程式の形式は何か？
• RQ5 max-plus代数における行列累乗およびイデムポテンシーは、状態遷移行列の導出をどのように支援するか？

主な発見

• 単一サーバーのフォーク・ジョインノードおよび無限バッファを有するキューイングネットワークのダイナミクスは、d(k) = T(k) ⊗ d(k-1) という線形max-plus方程式として表現可能であり、ここで d(k) は出荷時刻のベクトルである。
• 状態遷移行列 T(k) は、サービス時間 τ_ik およびルーティング構造から構築され、トランジットシステムおよびラウンドロビンネットワークに対して明示的な形で導出されている。
• ラウンドロビンルーティングを有するシステムでは、同等のフォーク・ジョインモデルを用いることで、T(k) が (E ⊕ T_k ⊗ G_0^T)^l ⊗ T_k ⊗ (E ⊕ G_1^T) として導出可能であり、行列のイデムポテンシーを活用している。
• l=3 のラウンドロビンルーティングの場合、状態遷移行列 T(k) が明示的に計算され、遅延が巡回経路を通じてどのように蓄積されるかが示されている。
• 初期状態に関連する行列 G_0 は非巡回的であり、最長経路長が p=l であるため、定理2を用いて T(k) の最終形が導出可能である。
• 本フレームワークは、トランジットシステム（自明なフォーク・ジョインネットワークとしてのモデル化）およびラウンドロビンシステムを、同等のネットワーク変換を介して統一的にモデル化できることを示している。