[論文レビュー] The maximal jump and local convergence of continuous-state branching processes

Xin He, Zenghu Li|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、さまざまな条件付け機構下での連続状態ブランチ過程（CB過程）の最大ジャンプの分布および局所収束性を調査する。確率微分方程式とLévy-Itô分解を用いて、局所的およびグローバルな最大ジャンプの正確な表現および漸近挙動を導出し、最大ジャンプ分布とLévy測度の間の絶対連続性を確立し、大最大ジャンプ、大幅広、または大全質量への条件付け下でCBI過程への局所収束を証明する。これは、古典的な大高さ条件付けに関する結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We study the distribution of the maximal jump of continuous-state branching processes. Several exact expressions and explicit asymptotics of both the local maximal jump and the global maximal jump are obtained. We also compare the distribution of the maximal jump and the Lévy measure to get several absolute continuity results. Then we study local convergence of continuous-state branching processes under various conditionings. We obtain complete results under the conditioning of large maximal jump, and partial results under two other conditionings, which are, the conditioning of large width, and, the conditioning of large total mass.

研究の動機と目的

• 連続状態ブランチ過程における最大ジャンプの分布を、局所的およびグローバルに特徴づけること。
• 臨界、亜臨界、超臨界の場合における最大ジャンプ分布とLévy測度の間の絶対連続関係を確立すること。
• 標準的大高さ条件付けを超えて、CB過程の古典的な局所収束結果を拡張すること。
• 大最大ジャンプ、大幅広、大全質量の3つの代替的条件付け下での局所収束を調査すること。
• 多様な経路的制約下でのCB過程のスケーリング極限を理解する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• CB過程におけるジャンプダイナミクスの分析に、確率微分方程式およびLévy-Itô分解を用いる。
• Lévy測度と分岐機構を含むODEを用いて、局所的最大ジャンプの分布を導出する。
• エクcursion測度下でのエクストルージョン表現を適用し、Lévyツリーに適用可能な結果を得る。
• 時間変換過程および指数チルティングを用いて、大ジャンプおよび大質量条件付け下での条件付き分布を分析する。
• マルコフ性およびラプラス指数の漸近的解析を用いて、収束極限を導出する。
• 指数マルティンゲールによる条件付き同値結果を応用し、条件付け測度を変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CB過程における最大ジャンプの分布は、そのLévy測度とどのように関係するか？
• RQ2 グローバル最大ジャンプの分布がLévy測度に対して絶対連続となる条件は何か？
• RQ3 大最大ジャンプに条件付けられた場合、CB過程の極限的挙動はいかなるものか？
• RQ4 大最大ジャンプ条件付け下での局所収束は、古典的大高さ条件付けと比べてどのように異なるか？
• RQ5 大幅広または大全質量に条件付けた場合の極限分布は何か？

主な発見

• 局所的最大ジャンプの尾とLévy測度の尾は、定理3.3で示されるように、漸近的に同程度のオーダーをとる。
• 亜臨界の場合、グローバル最大ジャンプの尾は、定理3.7で確立されたように、Lévy測度の尾と漸近的に同等である。
• 臨界および亜臨界の場合、グローバル最大ジャンプの分布は、定理3.11によりLévy測度に対して絶対連続である。
• 局所的最大ジャンプに関しては、すべてのケースで定理3.14で示されるように、Lévy測度に対して絶対連続である。
• 大最大ジャンプ条件付け下では、局所極限はインポートを伴うCBI過程であり、臨界ケースでは古典的大高さ極限と同一である。これは定理4.2で示された。
• 大全質量条件付け下では、論文は、臨界性および臨界チルティングパラメータの存在に依存して、修正された分岐およびインポート機構を伴うCBI過程への収束を予想している。